Cantidades imaginarias

Las cantidades imaginarias son las raíces pares de cantidades negativas.cantidades imaginarias

\begin{align} {Entonces} \sqrt{-1} , \sqrt{-3} , \sqrt[4]{-8}  {son} {cantidades} {imaginarias} \end{align}

Las cantidades reales son todas las cantidades que no son imaginarias.

UNIDAD IMAGINARIA

A la cantidad imaginaria \begin{align} \sqrt{-1} \end{align} se le llama unidad imaginaria.

La unidad imaginaria se representa con la letra i.

\begin{align} i= \sqrt{-1}\end{align}

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

Encontremos las potencias de la cantidad imaginaria.

\begin{align} i= \sqrt{-1} \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{1} =  \sqrt{-1} \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{2}=-1 \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{3} =- \sqrt{-1} \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{4} =1 \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{5}= \sqrt{-1} \end{align}

\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{6}=-1 \end{align}

Las cuatro primeras potencias son

\begin{align} \sqrt{-1}, -1, – \sqrt{-1}, 1 \end{align} y se repiten en patrones.

SIMPLIFICACION DE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS

Las expresiones \begin{align} \sqrt[n]{-a} \end{align}

en donde n es par y –a es una cantidad real negativa, se les llama cantidades imaginarias puras.

Todas las raíces imaginarias se pueden simplificar a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria.

Es decir:

\begin{align} \sqrt{-a^{2}} = \sqrt{a^{2} \times ( -1 )} = \sqrt{a^{2}} \times \sqrt{-1} = a i \end{align}

\begin{align} \sqrt{-4} = \sqrt{4 \times ( -1 )} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2 i \end{align}

\begin{align} \sqrt{-5} = \sqrt{5 \times ( -1 )} = \sqrt{5} \times \sqrt{-1} = \sqrt{5} \end{align}

\begin{align} \sqrt{-16} = \sqrt{16 \times ( -1 )} = \sqrt{16} \times \sqrt{-1} = 4 i \end{align}

\begin{align} \sqrt{-18} = \sqrt{9 \times 2 \times ( -1 )} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = 3 \sqrt{2}  i \end{align}

OPERACIONES CON CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS

Suma y resta

Se reducen a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria y se reducen como radicales semejantes.

Ejemplo:

\begin{align} {Simplificar}   \sqrt{-4} + \sqrt{-16} =  \end{align}

\begin{align}    \sqrt{4 \times -1} + \sqrt{16 \times -1}  = 2 \sqrt{-1} +4  \sqrt{-1} = 6i  \end{align}

Multiplicación

Se reducen las imaginarias a la forma típica y se produce como se indica en el ejemplo, tomando en cuenta las potencias de la unidad imaginaria.

Ejemplo:

\begin{align} \sqrt{-16} \times \sqrt{-25} = \end{align}

\begin{align}  \sqrt{16 \times -1} \times \sqrt{25 \times -1} =4 \sqrt{-1} \times 5 \sqrt{-1} =-20 \end{align}

División

Se reducen las imaginarias a la forma típica y se expresa el cociente como una fracción que se puede simplificar.

Ejemplo:

\begin{align}   \sqrt{-16} \div \sqrt{-4} =\end{align}

\begin{align} \sqrt{16 \times -1} \div \sqrt{4 \times -1} = 4 \sqrt{-1} \div 2 \sqrt{-1} =2 \end{align}

 

Leave a Reply