Las cantidades imaginarias son las raíces pares de cantidades negativas.
\begin{align} {Entonces} \sqrt{-1} , \sqrt{-3} , \sqrt[4]{-8} {son} {cantidades} {imaginarias} \end{align}
Las cantidades reales son todas las cantidades que no son imaginarias.
UNIDAD IMAGINARIA
A la cantidad imaginaria \begin{align} \sqrt{-1} \end{align} se le llama unidad imaginaria.
La unidad imaginaria se representa con la letra i.
\begin{align} i= \sqrt{-1}\end{align}
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Encontremos las potencias de la cantidad imaginaria.
\begin{align} i= \sqrt{-1} \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{1} = \sqrt{-1} \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{2}=-1 \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{3} =- \sqrt{-1} \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{4} =1 \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{5}= \sqrt{-1} \end{align}
\begin{align} \left( \sqrt{-1^{}} \right)^{6}=-1 \end{align}
Las cuatro primeras potencias son
\begin{align} \sqrt{-1}, -1, – \sqrt{-1}, 1 \end{align} y se repiten en patrones.
SIMPLIFICACION DE LAS CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS
Las expresiones \begin{align} \sqrt[n]{-a} \end{align}
en donde n es par y –a es una cantidad real negativa, se les llama cantidades imaginarias puras.
Todas las raíces imaginarias se pueden simplificar a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria.
Es decir:
\begin{align} \sqrt{-a^{2}} = \sqrt{a^{2} \times ( -1 )} = \sqrt{a^{2}} \times \sqrt{-1} = a i \end{align}
\begin{align} \sqrt{-4} = \sqrt{4 \times ( -1 )} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2 i \end{align}
\begin{align} \sqrt{-5} = \sqrt{5 \times ( -1 )} = \sqrt{5} \times \sqrt{-1} = \sqrt{5} \end{align}
\begin{align} \sqrt{-16} = \sqrt{16 \times ( -1 )} = \sqrt{16} \times \sqrt{-1} = 4 i \end{align}
\begin{align} \sqrt{-18} = \sqrt{9 \times 2 \times ( -1 )} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = 3 \sqrt{2} i \end{align}
OPERACIONES CON CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS
Suma y resta
Se reducen a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria y se reducen como radicales semejantes.
Ejemplo:
\begin{align} {Simplificar} \sqrt{-4} + \sqrt{-16} = \end{align}
\begin{align} \sqrt{4 \times -1} + \sqrt{16 \times -1} = 2 \sqrt{-1} +4 \sqrt{-1} = 6i \end{align}
Multiplicación
Se reducen las imaginarias a la forma típica y se produce como se indica en el ejemplo, tomando en cuenta las potencias de la unidad imaginaria.
Ejemplo:
\begin{align} \sqrt{-16} \times \sqrt{-25} = \end{align}
\begin{align} \sqrt{16 \times -1} \times \sqrt{25 \times -1} =4 \sqrt{-1} \times 5 \sqrt{-1} =-20 \end{align}
División
Se reducen las imaginarias a la forma típica y se expresa el cociente como una fracción que se puede simplificar.
Ejemplo:
\begin{align} \sqrt{-16} \div \sqrt{-4} =\end{align}
\begin{align} \sqrt{16 \times -1} \div \sqrt{4 \times -1} = 4 \sqrt{-1} \div 2 \sqrt{-1} =2 \end{align}
