En nuestro post anterior trabajamos sobre la teoría de conjuntos y quedamos precisamente en este punto: cómo se define un conjunto. Precisamente, habíamos compartido a modo de adelanto una breve definición, veamos cuál era:
“Existen convencionalmente dos formas de definir un conjunto en matemáticas: definir conjuntos por extensión y definir conjuntos por comprensión. En el primer caso se nombran uno a uno los elementos del conjunto y en el segundo, se da una característica que distinga a esos elementos y sólo a esos, para que se consideren pertenecientes al mismo.”
Vamos a ahondar este concepto por medio de algunos ejemplos y ejercicios que permitirán que quede el concepto totalmente claro para ti.
Cómo se define un conjunto
Existen dos formas de definir un conjunto en matemáticas: por definir un comprensión y definir un conjunto por extensión. Veamos de qué se trata cada una de ellas:
- Definir un conjunto por extensión
La misma palabra lo dice: definir un conjunto por extensión es “extenderse” nombrando uno por uno los elementos de ese conjunto.
- Definir un conjunto por comprensión
Si se elige definir un conjunto por compresión, significa agrupar a todos sus elementos bajo una característica que los distinga y los diferencie sólo a ellos.
Veamos un ejemplo: se trata de definir el conjunto de las notas musicales clásicas.
Definir ese conjunto por extensión, sería así:
M = { Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si }
Definir ese conjunto por comprensión, sería así:
M = { es el conjunto de las notas musicales }
En realidad, en éste último caso, la definición por comprensión exige una notación matemática más precisa, pero que significa lo mismo. Esa notación sería, para este ejemplo, la siguiente:
M = { x/x es una nota musical }
¿Cómo se lee esto? Se lee así:
“M es igual al conjunto de los x tal que cada x es una nota musical”
Primero se habla de todos los “x” y luego se da una característica de cada uno, por eso se redacta en singular “es una nota musical”
Veamos otro ejemplo: hablamos de los colores de la bandera de Francia.
Definición por extensión:
B = { blanco, azul, rojo }
Definición por comprensión:
B = { x/x es un color de la bandera de Francia }
Precisiones importantes
Cada elemento de un conjunto es único y no debe haber confusiones al respecto. Si bien el orden de los elementos no importa a la hora de definir el conjunto, algo que no puede pasar es que haya elementos idénticos. Cuando definimos un conjunto, lo único que hay que dejar bien claro es si el elemento pertenece o no pertenece al conjunto en cuestión.
La relación de pertenencia entonces, se da entre elementos y conjuntos. Existe un símbolo matemático para realizar esta notación (pertenencia o no pertenencia) y es el siguiente (en realidad es un sólo símbolo):
- pertenece ∈
- no pertenece ∉
Es usual, especialmente en las definiciones por comprensión, la utilización de símbolos matemáticos. Por ejemplo, si queremos hacer referencia al conjunto de números que van del 3 al 11 (incluidos), deberíamos definirlos de una de estas dos maneras:
Por extensión:
B = { 3,4,5,6,7,8,9,10,11 }
Por comprensión:
B = { x/x 2 < x <12 }
Imagen: math-only-math
