Derivación logarítmica

Se llama derivación logarítmica al proceso utilizado para realizar derivadas de forma sencilla utilizando las propiedades de los logaritmos

PROCESO:

1. Aplicar el logaritmo natural (neperiano) a los dos miembros de la función y aplicar las propiedades del logaritmo.
2. Derivar los dos miembros de la función
3. Despejar y
4. Sustituir y por su valor como función de la variable x.

DERIVADA DE UN LOGARITMO

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Derivada de un logaritmo natural

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Algunas veces en ciertos ejercicios se necesita aplicar las propiedades de los logaritmos antes de derivar para simplificar la función. Recordemos brevemente las propiedades de los logaritmos que son las siguientes:

Propiedades de los logaritmos

• Log (a · b) = log a + log b
• Log (a / b) = log a – log b
• Log a^b = b · log a
• Log a^1/b = log a / b

Ejemplos derivación logarítmica

Te presento cinco ejercicios para que veas como se aplican las fórmulas de derivación logarítmica y para que sepas como y cuando aplicar las propiedades de los logaritmos. Primero te pongo los cinco ejercicios sin solución para que intentes resolverlos y después te presento las soluciones para que compares tus resultados.

1. f (x) = ln (2x⁴ – x³ + 3x² – 3x)

2. f (x) = ln ( e^x + 1 / e^x – 1)

3. f (x) = ln ( x (1 – x ) )^1/2

4. f (x) =  log ₂ (x⁴ – 3x )

5. f (x) =  x⁵ ln x

Soluciones a ejemplos de derivación logarítmica

1. f (x) = ln (2x⁴ – x³ + 3x² – 3x)

Utilizando la fórmula de derivación logarítmica para logaritmos naturales:

f ‘ (x) = ln (8x³ – 3x² + 6x– 3) / (2x⁴ – x³ + 3x² – 3x)

2. f (x) = ln ( e^x + 1 / e^x – 1)

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

f (x) = ln ( e^x + 1) – f (x) – ln ( e^x – 1)

f ‘ (x) = (e^x/ e^x + 1 ) – (e^x/ e^x – 1 )

f ‘ (x) = -2e^x / e^2x – 1

3. f (x) = ln ( x (1 – x ) )^1/2

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

f (x) = ½ ( ln x + ln (1 – x ))

f ‘(x) =  ½ ((1/x) + (-1/ 1-x))

f ‘ (x) =  (1 – 2x) /(2x (1 – x ))

4. f (x) =  log ₂ (x⁴ – 3x )

f ‘ (x) =  (4x³ – 3 / (x⁴ – 3x ) ) * log₂ e

5. f (x) =  x⁵ ln x

f ‘ (x) =  5x⁴ ln x + x⁵ (1/x) = 5x⁴ ln x + x⁴

f ‘ (x) = x⁴ (5 ln x +1)