Desigualdades cuadráticas

Antes de entrar al tema de las desigualdades cuadráticas empecemos por definir una desigualdad.

Desigualdades cuadráticasResolver una desigualdad significa encontrar un intervalo que satisface a la desigualdad original. A ese intervalo le llamaremos intervalo solución. Para resolver una desigualdad se utilizan las técnicas de las ecuaciones, con la siguiente diferencia “Cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte“.

Las desigualdades cuadráticas son equivalentes a una ecuación de segundo grado, es decir tienen una variable elevada al exponente dos.

Desigualdades cuadráticas

Para ilustrar mejor como se resuelven las desigualdades cuadráticas te pongo los siguientes ejemplos:

1.  \[ x^{2} -4>0 \] 

Descomponemos en factores:

\begin{align} ( x+2 ) ( x-2 ) >0 \end{align}

Hay dos casos que podemos hacer:

Caso #1 los dos factores son positivos

\begin{align} ( x+2 ) >0; x > -2  \end{align}

\begin{align} ( x-2 ) >0; x >2  \end{align}

Caso #2 los dos factores son negativos

\begin{align} ( x+2 ) <0; x < -2  \end{align}

\begin{align} ( x-2 ) <0; x <2 \end{align}

Resultado: para obtenerlo probamos las raíces obtenidas en la desigualdad original y vemos en cuales si se cumple.

\begin{align} ( – \infty ,  -2 ) U ( 2  , \infty )\end{align}

 

2. \begin{align} x^{2} -4<0 \end{align}

\begin{align}( x+2 ) ( x-2 ) <0  \end{align}
\begin{align} ( x+2 ) <0; x < -2  \end{align}
\begin{align}( x-2 ) <0; x <2  \end{align}
\begin{align} ( x+2 ) >0; x > -2  \end{align}
\begin{align} ( x-2 ) >0; x >2 \end{align}

\begin{align}( -2,2 )\end{align}

 

3. 

\begin{align}x^{2} -25>=0\end{align}

\begin{align}( – \infty ,-5 ] U [ 5, \infty )\end{align}

 

4.

\begin{align}x^{2} -1<=0\end{align}

\begin{align} [ -1,1 ]\end{align}

 

5.

\begin{align}x^{2} -36>0\end{align}

\begin{align}( – \infty ,-6 ) U ( 6, \infty )\end{align}

 

6.

\begin{align}x^{2} -36<=0\end{align}

\begin{align}[ -6,6 ]\end{align}

 

7.

\begin{align}x^{2} +5x+6<0\end{align}

\begin{align}( -3,2 )\end{align}

 

8.

\[ x^{2} +4>0 \] 

\begin{align}( -\infty,\infty)\end{align}

9.

\[ x^{2} +4<0 \] 

No hay solución; ya que esa desigualdad con cualquier valor siempre será positiva (mayor a cero).

10.

\[ x^{2} +x+1>0 \] 

\begin{align}( -\infty,\infty)\end{align}

NOTA: En los intervalos, el paréntesis significa > o <, es decir que el número que está en el paréntesis no se incluye dentro del intervalo, y los corchetes significan >= o <= es decir que el número en el corchete si se incluye dentro del intervalo.

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