Ecuación de la elipse

Ecuación de la elipse 5Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante, que se representa por 2a. Así, para cualquier punto M de la curva, se tiene MF + MF’ = 2a. Ahora veremos como encontrar la ecuación de la elipse.

 

Elementos de la elipse

  1. Los puntos fijos F y F’ se llaman focos y la longitud FF’ distancia focal que se designa por 2c.Ecuación de la elipse
  2. El punto medio de FF’ es el centro de la elipse y se representa por C.
  3. Los segmentos PF y PF’ que une un punto cualquiera de la elipse con los focos se llaman radios.
  4. Un segmento que une dos puntos MN’ cualesquiera de la elipse se denomina cuerda.
  5. Una cuerda que pasa por el centro, tal como DD’, es un diámetro.
  6. El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor, o focal VV’, que se designa por 2a y el perpendicular a él es el eje menor o normal BB’, que se designa por 2b.
  7. Las intersecciones V, V’ y B, B’ de la elipse con los ejes son los vértices de las elipse.
  8. Las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la elipse.
  9. Excentricidad de una elipse es la razón de la semidistancia focal al semieje mayor (c/a) y se prepresenta por e. paara que sea elipse c < a.

Propiedades de la elipse

  1. El eje mayor es igual a la cantidad constante VV’ = 2a
  2. El eje menor es igual BB’ = 2b
  3. La distancia focal FF’ = 2c
  4. Los ejes se cortan en su punto medio C
  5. El cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de los cuadrados del semieje menor y de la semidistancia focal. \begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align}
  6. La excentricidad es siempre menor que 1.

Ecuación de la elipse de C (o,0) y eje focal sobre el eje “x”

Ecuación de la elipse 1\begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \end{align}

Demostración

1. La propiedad que caracteriza a los puntos de la elipse es:

\begin{align}  {PF}  + {PF}’  = 2a \end{align}

2. Las coordenadas de F son (c,0) y las de F’ (-c,o) y las longitudes de MF y MF’ son:

\begin{align}{PF}  =  \sqrt{( x-c )^{2} +y^{2}  }\end{align}

\begin{align}{PF}’  = \sqrt{( x+c )^{2} +y^{2}}\end{align}

3. Expresando analíticamente la igualdad:

\begin{align}  \sqrt{( x-c )^{2} +y^{2}  }  + \sqrt{( x+c )^{2} +y^{2}}  = 2a\end{align}

4.Transformando. Aislando el primer radical en el primer miembro, elevando al cuadrado:

Ecuación de la elipse 2

5. Haciendo operaciones y reduciendo queda:

Ecuación de la elipse 3

6. Elevando nuevamente al cuadrado:

Ecuación de la elipse 4

7. De la propiedad 5 se deduce:

\begin{align} b^{2} x^{2} +a^{2} y^{2} =a^{2} b^{2} \end{align}

8. Dividiendo entre a2b2 resulta la ecuación de la elipse:

\begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \end{align}

Ecuación de la elipse de C (o,0) y eje focal sobre el eje “y”

\begin{align}\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} =1 \end{align}

Nota: la demostración se realiza de manera similar a la del eje de las “x”, solo cambia las coordenadas de los focos a (0,c) y (0,-c).

Pasos para graficar una ecuación de la elipse

  1. Ubicamos en el plano centro, vértices y focos.
  2. Ponemos dos puntos M que estén entre el centro y el foco.
  3. Abrimos el compás del vértice más cercano al primer punto M
  4. Nos paramos sobre el foco (para ambos focos) y hacemos un corte de cada lado sin cruzar ejes.
  5. Abrimos el compás del vértice más lejano al mismo punto M.
  6. Nos paramos sobre el foco y cortamos los trazos hechos previamente. NOTA: si los trazos son demasiado grandes es preferible borrar lo innecesario.
  7. Repetimos con M2
  8. Marcamos los puntos de cruce y unimos con los vértices.

Formulario para la elipse con centro c (0,0)

 

Fórmula de:

Eje mayor “x”

Eje mayor “y”

Ecuación de la elipse

\begin{align} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \end{align}

\begin{align}\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} =1 \end{align}

Focos

F(c,0) F’(-c,0)

F(0,c) F’(0,-c)

Vértices del eje mayor

V(a,0) V’(-a,0)

V(0,a) V’(0,-a)

Vértices del eje menor

B(0,b) B’(0,-b)

B(b,0) B’(-b,0)

Longitud del eje mayor

VV’=2a

VV’=2a

Longitud del eje menor

BB’=2b

BB’=2b

Distancia focal

FF’=2c

FF’=2c

Excentricidad

e=c/a

e=c/a

Longitud del lado recto

LR = 2b2/a

LR = 2b2/a

Relación pitagórica

\begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align}

\begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align}

 

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