Ecuación de la hipérbola

Para obtener la ecuación de la hipérbola hay que definir que es una hipérbola, esta es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante que se representa por 2a. Así para cualquier punto P de la curva, se tiene PF – PF’ = 2a.

Elementos de la hipérbolaEcuación de la hipérbola

  1. La curva es abierta y consta de dos ramas.
  2. Los puntos fijos F y F’ se llaman focos y la longitud FF’ distancia focal que se designa por 2c.
  3. El punto medio de FF’ es el centro de la hipérbola (c).
  4. Los segmentos PF y PF’ que unen un punto cualquiera de la hipérbola con los focos se llaman radios.
  5. Un segmento que une dos puntos NN’ cualesquiera de la hipérbola se denomina cuerda.
  6. Una cuerda que pasa por el centro, como DD’ se llama diámetro.
  7. El diámetro que pasa por los focos se llama eje real, focal o transverso VV’ que se designa por 2a. Sobre la recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro O y que no corta a la curva, se considera un segmento BB’, llamado eje conjugado o imaginario que se designa por 2b.
  8. Las intersecciones V, V’ del eje focal con la curva son los vértices de la hipérbola.
  9. Las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la hipérbola.
  10. Excentricidad de una elipse es la razón de la semidistancia focal al semieje mayor (c/a) y se representa por e. Para que sea hipérbola c>a.
  11. La curva está comprendida dentro del ángulo formado por las diagonales del rectángulo, cuyas dimensiones son 2a y 2b. Estas rectas se llaman asíntotas.

 Propiedades de la hipérbola

  1. El eje real es igual a la cantidad constante VV’ =2a
  2. El eje conjugado es igual a BB’ = 2b
  3. La distancia focal FF’ =2x
  4. Los ejes se cortan en su punto medio c.
  5. Relación entre los semiejes y la semidistancia focal el: \begin{align}c^{2} =a^{2} +b^{2}\end{align}
  6. La excentricidad siempre es mayor que 1.

Ecuación de la hipérbola con c(0,0) y eje focal sobre el eje “x”

Ecuación de la hipérbola 1

\begin{align}\frac{x^{2}}{a^{2}} – \frac{y^{2}}{b^{2}} =1\end{align}

Ecuación de la hipérbola con c(0,0) y eje focal sobre el eje “y”

\begin{align}\frac{y^{2}}{a^{2}} – \frac{x^{2}}{b^{2}} =1\end{align}

Pasos para graficar la ecuación de la hipérbola

  1. Ubicar todos los puntos importantes.
  2. Hacemos un rectángulo que pase por los cuatro vértices.
  3. Hacemos las diagonales y las prolongamos. Es decir las asíntotas.
  4. Poner un punto M después del foco.
  5. Abrimos el compás de M al vértice más cercano.
  6. Nos paramos en el foco y hacemos trazos sin cortar ninguna linea.
  7. Abrimos el compás e M al vértice más lejano.
  8. Nos paramos en el foco y cortamos guiandonos con x.
  9. Unimos los puntos.

 Formulario para la hipérbola con centro (0,0)

Formula de:

Eje transverso “x”

Eje transverso “y”

Ecuación de la hipérbola

\begin{align}\frac{x^{2}}{a^{2}} – \frac{y^{2}}{b^{2}} =1\end{align}

\begin{align}\frac{y^{2}}{a^{2}} – \frac{x^{2}}{b^{2}} =1\end{align}

Focos

F(c,0)    F’(-c,0)

F(0,c)    F’(0,-c)

Vértices

V(a,0)    V’(-a,0)

V(0,a)    V’(0,-a)

Extremos del eje conjugado

B(0,b)    B’(0,-b)

B(b,0)    B’(-b,0)

Longitud del eje real o transverso

VV’=2a

VV’=2a

Longitud del eje imaginario o conjugado

BB’=2b

BB’=2b

Distancia focal

FF’=2c

FF’=2c

Excentricidad

e=c/a

e=c/a

Longitud del lado recto

\begin{align} {LR} = \frac{2b^{2}}{a}\end{align}

\begin{align} {LR} = \frac{2b^{2}}{a}\end{align}

Relación pitagórica

\begin{align}c^{2} =a^{2} +b^{2}\end{align}

\begin{align}c^{2} =a^{2} +b^{2}\end{align}

Ecuaciones de las asíntotas

bx+ay= 0 y bx-ay=0

ax+by= 0 y ax-by=0

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