Ecuaciones bicuadradas

bicuadradas 3Hemos trabajado antes con ecuaciones cuadráticas, pero el concepto de ecuaciones bicuadradas, puede que sea nuevo para ti. Veamos de qué se trata, cómo identificamos una ecuación bicuadrada y cómo se resuelven.

Una ecuación bicuadrada es una expresión algebraica de una sola variable, de cuarto grado, que tiene sólo tres términos: uno de grado 4, uno de grado 2 y un término independiente.

Un ejemplo de ecuación bicuadrada es el siguiente:

3x4 – 5x2 + 1 = 0

 ¿Por qué se llaman ecuaciones bicuadradas? Porque ese nombre trata de expresar lo que será el concepto clave para esbozar una estrategia de resolución: bicuadrada querrá decir: “dos veces cuadrática”. Si lo piensas, el término x4 , puede ser expresado como    (x2) elevado a su vez a la 2, lo cual nos da x4. Dicho de otro modo, imagina que el término principal de la ecuación sea 3x4 , es correcto decir que éste término también puede escribirse como 3(x2)2 .

Ecuaciones bicuadradas

¿Cómo se resuelven?

 La estrategia que se sigue recibe el nombre de “cambio de variable”, que sintéticamente explicada quiere decir que cambiaremos la variable de cuarto grado por una de segundo grado (tomando como base lo explicado en el párrafo anterior) y la de segundo grado por una lineal o de primer grado.

El análisis que fundamenta esto, sería señalar que toda ecuación bicuadrada tiene un término de cuarto grado ( elevado x4), un término de de segundo grado (elevado x2) y un término independiente. Este tipo de ecuaciones se puede resolver concibiendo a esta ecuación como una ecuación cuadrática, pero que está a su vez elevada al cuadrado. De este modo, tomando como variable a x2, pero elevada a su vez al cuadrado.

Así, el primer término sería el de segundo grado, porque 3x4 es igual a 3(x2)2; el segundo término sería el de grado 1, pero elevado al cuadrado nos queda -5x2 , porque es igual a -5(x2)1; y el tercer término es el de grado cero sin hacerle ninguna modificación. Facilita mucho esto, porque  podemos verla entonces como una ecuación cuadrática en vez de una ecuación de cuarto grado, precisamente como una cuadrática la vamos a resolver, hallando dos soluciones.

¿Cómo llegamos a las cuatro soluciones que esta ecuación debe tener (ya que es de cuarto grado)?. Todo lo que hay que hacer es “deshacer” el cambio de variable. Para que sea más sencillo para ti, podemos resolver una ecuación como ejemplo, que incluya todos los pasos mencionados antes, vale decir: hacer el cambio de variable y luego deshacerlo, para hallar las cuatro soluciones. Veamos cómo hacerlo:

 En esta primera imagen observamos a la ecuación inicial, y como queda definido el cambio de variable, llamamos “m” a la nueva variable.

bicuadradas 1

Como puedes ver, hemos obtenido dos soluciones, m1 y m2 respectivamente. Con ellas, deshacemos el cambio de variable para obtener dos soluciones más a partir de cada una de ellas, total cuatro soluciones. Observa:

bicuadradas 2

Te propongo estar pendiente, compartiré algunas propuestas de ejercicios para que puedas practicar.

Imagen: deconceptos

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