Funciones logaritmicas y exponenciales

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Las funciones logaritmicas y exponenciales están relacionadas ya que la función inversa de la función exponencial con base “a” se llama función logarítmica base “a” y se representa mediante log_a (x) , se lee “logaritmo de x base a”.

Funciones logaritmicas y exponenciales

Definición de log_a:

Sea “a” un número positivo real diferente a 1. El logaritmo de x con base “a” se define:

y = log_a x solamente si x = a^y(para toda “x” mayor a cero y todo número real “y”).

La primera ecuación es la forma logarítmica y la segunda es la forma exponencial, el siguiente diagrama puede ayudarte a convertir cada forma en la otra:

Ejemplos

log₅u =3 –> 5³ = u

log_b3 =7 –> b⁷ = 3

log₃8 =3+2 –> 3⁽³⁺²⁾ = 8

Funciones logarítmicas

Las siguientes son propiedades generales consecuencia de la interpretación de log_ax como un exponente:

Propiedad de Log_a (x)	Motivo	Ejemplo
(1) log_a 1 = 0 (2) log_a a = 1 (3) log_a a^x = x (4) a^{loga x} = x	a⁰=1 a¹=a a^x= a^x a^y=x; log_a x = y	log₃ 1 = 0 log₁₀ 10 = 1 log₂ 8 = log₂ 2³ = 3 5^{log5 7} = 7

Si a > 1 entonces log_a x es creciente en (0, infinito).

Ejemplo

Hacer la gráfica para la función f(x) = log₃ x :

Método 1

Ya que log₃ x y 3^x son inversas entre sí, primero se hace la gráfica de 3^x , se refleja la recta y = x y el reflejo de la gráfica 3^x será la gráfica de log₃ x.

Funciones logaritmicas y exponenciales7

Método 2

Determinar puntos en la gráfica de y = log₃ x haciendo que x = 3^k y aplicar la propiedad (3) de los logaritmos (del cuadro anterior), con esta fórmula obtenemos los siguientes puntos:

x = 3^k	3^-3	3^-2	3^-1	3⁰	3¹	3²	3³
y = log₃ x = k	-3	-3	-1	0	1	2	3

Método 3

Se puede trazar la gráfica de y = log₃x graficando la forma exponencial x = 3^y .

Funciones exponenciales

La función exponencial es de la forma f(x)= a^x, siendo “a” un número real positivo.

Si tenemos f(x)= 3^x, en la siguiente tabla aparecen algunas coordenadas de puntos de la gráfica de y =3^x

X	-10	-3	-2	-1	0	1	2	3	10
Y = 3^x	1/59049	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27	59049

En la figura se ve el trazado de la gráfica de f(x)= 3^x.

Si x1 y x2 son números racionales y x1<x2 entonces 3^x1<3^x2 y f es una función creciente y por lo tanto su gráfica es ascendente.

Terminología	Definición	Gráfica de f para a > 1	Gráfica de f para 0 < a < 1
Función exponencial f con base “a”	f(x) = a^x donde a es mayor a 0 y diferente a 1