Gauss-Jordan y Resolver Sistemas de Ecuaciones con él.

jordon2

 

Gauss-Jordan es un método muy parecido al Gauss. Consiste en lo mismo que Gauss que es tener una diagonal de unos y los números de abajo hacerlos ceros, solo con una cosa extra por hacer que no se hace en el Gauss, que es hacer ceros los números de arriba de la diagonal.

 

 

 

La manera de hacer esto ahora sera afectando los renglones de abajo hacia arriba, cuando termines el Gauss es cuando entra el afectar ahora el renglón 3 haciendo los números de arriba de la diagonal cero.

 

 

 

Así debería de quedar la matriz ya con Gauss-Jordan hecho:

 

 

 

[1 0 0 | k1]

 

[0 1 0 | k2]

 

[0 0 1 | k3]

 

 

 

De tal modo que los resultados de nuestras incógnitas los tendríamos directos siendo:

 

X=k1, Y=k2 y Z=k3

 

 

 

A continuación unos ejemplos para entrar mas en detalle y aclarar dudas:

 

 

 

  1. Aplicar Gauss-Jordan a la siguiente matriz:

 

[1 1 -1 | 7]

 

[4 -1 5 | 4]

 

[2 2 -3 | 0]

 

 

 

Igual que en el gauss nos vamos de columna en columna hacienda unos y ceros.

 

 

 

Como ya tenemos nuestro primer uno, multiplicamos R1 por -4 y le sumamos R2 y también multiplicamos R1 por -2 y le sumamos R3. Nos queda nuestra matriz:

 

 

 

[1 1 -1 | 7]

 

[0 -5 9 | -24]

 

[0 0 -1 | -14]

 

 

 

Ahora pasamos a la columna 2 para hacer nuestra diagonal de 1 y dividimos R2 entre -5, nuestra matriz nos queda:

 

 

 

[1 1 -1 | 7]

 

[0 1 -9/5 | -24/5]

 

[0 0 -1 | -14]

 

Ahora pasamos a hacer nuestro ultimo uno y dividimos entre -1 R3. La matriz nos queda:

 

 

 

[1 1 -1 | 7]

 

[0 1 -9/5 | -24/5]

 

[0 0 1 | 14]

 

 

 

Ahora si ya con el Gauss hecho pasamos a hacer el Gauss-Jordan y empezamos a hacer ceros los números de arriba de la diagonal de 1, de abajo hacia arriba por lo que R3 lo multiplicamos por 9/5 y le sumamos R2. Tenemos nuestra matriz de la siguiente manera:

 

 

 

[1 1 -1 | 7]

 

[0 1 0 | 30]

 

[0 0 1 | 14]

 

 

 

Ahora seguimos con los demás números, igual con la metodología de columna en columna, por lo que nada mas a R3 le sumamos R1 y nos queda:

 

 

 

[1 1 0 | 21]

 

[0 1 0 | 30]

 

[0 0 1 | 14]

 

 

 

Solo falta por hacer un ultimo 0, entonces multiplica R2 por -1 y sumarle R1.

 

 

 

[1 0 0 | -9]

 

[0 1 0 | 30]

 

[0 0 1 | 14]

 

 

 

Y esa es nuestra matriz final, si hubiera sido un sistema de ecuaciones tendríamos de resultados x=-9, y=30 y z=14.

 

 

 

 

 

Es la manera de hacer Gauss-Jordan, ahora para aclarar aun mas las dudas Gauss-Jordan también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones, entonces veremos el siguiente ejemplo en un sistema de ecuaciones para tener resultados.

 

 

 

 

 

  1. Resolver con Gauss-Jordan el siguiente sistema de ecuaciones:

 

 

 

3x + 2y + 2z = 34

 

2x + 3y + 2z = 32

 

x + y + z = 14

 

 

 

 

 

Pasamos a convertir las ecuaciones en matriz y tenemos:

 

 

 

[3 2 2 | 34]

 

[2 3 2 | 32]

 

[1 1 1 | 14]

 

 

 

Y empezamos a hacer Gauss y Gauss-Jordan:

 

 

 

Cambio de posición R1 y R3 y al nuevo R1 le multiplicamos -2 y -3 y los sumamos respectivamente a R2 y R3. Nos queda:

 

 

 

[1 1 1 | 14]

 

[0 1 0 | 4]

 

[0 -1 -1 | -8]

 

 

 

Ya con el Segundo 1 en la diagonal pasamos a hacer 0 el ultimo de la columna 2 entonces a R2 le sumamos R3 y nos queda:

 

 

 

[1 1 1 | 14]

 

[0 1 0 | 4]

 

[0 0 -1 | -8]

 

 

 

Multiplicamos por -1 R3 para tener positivo el ultimo 1 y pasar a hacer Gauss-Jordan, nos queda:

 

 

 

[1 1 1 | 14]

 

[0 1 0 | 4]

 

[0 0 1 | 8]

 

 

 

Multiplicamos por -1 R3 y le sumamos R1 y a R2 le multiplicamos -1 y le sumamos R1 y nos queda la matriz resultante:

 

 

 

[1 0 0 | 2]

 

[0 1 0 | 4]

 

[0 0 1 | 8]

 

 

 

Entonces los valores de nuestras incógnitas son:

 

 

 

X=2

 

Y=4

 

Z=8

 

 

 

Estos fueron dos ejemplos de como hacer Gauss-Jordan, también se pueden presentar problemas donde lo que puede resultar complicado es plantear el sistema de ecuaciones pero no lo es, viendo bien el problema es fácil plantearlo y empezar a hacer el Gauss-Jordan.

 

 

 

Más ejercicios para repasar Gauss-Jordan:

 

 

1. -2X+4Y-6Z= -18

 

2X+3Y-5Z= -11

 

4X-7Y+2Z= 15

 

 

 

2.    2X+4Y+3Z = 6

 

0X+ Y –Z = -4

 

3X+5Y+7z= 7

 

 

 

 

 

 

 

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