Integración de funciones trigonométricas

Integración de funciones trigonométricas

Antes de mostrarte como realizar la integración de funciones trigonométricas hay que definir que es una integral.

Una integral se define gráficamente como el área bajo la curva entre dos valores determinados de “x”.  A la integración también se le llama antiderivación (ya que es la operación contraria a derivar).

Integración de funciones trigonométricas

Para realizar la integración de funciones trigonométricas existen las siguientes fórmulas:

\begin{align} 1. \int {sen} u {du} =- \cos u +c \end{align}
\begin{align} 2. \int \cos u {du} = {sen} u +c \end{align}
\begin{align} 3. \int \tan u {du} = \ln | \sec u | +c \end{align}
\begin{align} 4. \int \cot u {du} = \ln | {sen} u | +c \end{align}
\begin{align} 5. \int \sec u {du} = \ln | \sec u + \tan u | +c \end{align}
\begin{align} 6. \int \csc u {du} = \ln | \csc u – {cotu} | +c \end{align}
\begin{align} 7 \int \sec^{2} u ^{} {du} = \tan u +c \end{align}
\begin{align}8. \int \csc^{2} u ^{} {du} =- \cot u +c\end{align}
\begin{align}9. \int \sec u \tan u {du} = \sec u +c \end{align}
\begin{align} 10. \int \csc u \cot u {du} = – \csc u +c\end{align}

Existen dos casos en las integrales:

1. Cuando la “x” está sola, se aplican las fórmulas fundamentales de integración de manera directa.

Ejemplo de integrales de funciones trigonométricas cuando la x está sola:

\begin{align} \int   {sen}  3x  {dx}  =- \cos  3x   +c\end{align}

La diferencial de una función es la derivada de esta multiplicada por “dx”.

2. Cuando la “x” está acompañada, lo primero que se hace es “sacar la diferencial de lo que está dentro del paréntesis. Si la diferencial ya está completa se aplican directamente las fórmulas fundamentales de integración” en caso de que no este completa la diferencial, primero se debe completar y después aplicar las fórmulas fundamentales de integración.

Ejemplo de integrales de funciones trigonométricas cuando la x está acompañada:

\begin{align} \int \frac{{sen} 2x}{\sqrt{36-9 {sen}^{2} x}} {dx} \end{align}
\begin{align}- \frac{1}{18} 2 \int \frac{{sen} x \cos x}{\sqrt{36-9{sen}^{2} x}} {dx} \end{align}
\begin{align}- \frac{2}{9} \sqrt{36-9 {sen}^{2} x} +c \end{align}

También nos podemos apoyar en las identidades trigonométricas para la integración de funciones trigonométricas.

Identidades trigonométricas

 Recíprocos  \begin{align} {sen} ( A ) = \frac{1}{\csc ( A )}    \csc ( A ) =
\frac{1}{{sen} ( A )}    \cos ( A ) = \frac{1}{\sec ( A )}    \sec ( A ) = \frac{1}{\cos ( A )}    \tan ( A ) = \frac{1}{\cot ( A )}    \cot ( A ) = \frac{1}{\tan ( A )}\end{align}
 Pitagóricas  \begin{align} {sen}^{2} ( A ) + \cos^{2} ( A ) = 1 \end{align}\begin{align} 1+ \tan^{2} ( A ) = \sec^{2} ( A ) \end{align}
\begin{align}  1+ \cot^{2} ( A ) = \csc^{2} ( A ) \end{align}
 Ángulos negativos  \begin{align}{sen} ( -A ) =- {sen} ( A ) \end{align}
\begin{align}\cos ( -A ) = \cos ( A ) \end{align}
\begin{align}\tan ( -A ) =- \tan ( A )\end{align}
 Suma de Ángulos  \begin{align}{sen} ( A+B ) = {senAcosB} + {cosAsenB} \end{align}
\begin{align} \cos ( A+B ) = {cosAcosB} – {senAsenB} \end{align}
\begin{align} \tan ( A+B ) = \frac{\tan ( A ) + \tan ( B )}{1- \tan ( A ) \tan ( B )} \end{align}
 Diferencia de Ángulos  \begin{align}{sen} ( A-B ) = {senAcosB} – {cosAsenB} \end{align}
\begin{align} \cos ( A-B ) = {cosAcosB} + {senAsenB} \end{align}
\begin{align} \tan ( A-B ) = \frac{\tan ( A ) – \tan ( B )}{1+ \tan ( A ) \tan ( B )} \end{align}
 Ángulos dobles  \begin{align}{sen} ( 2A ) =2 {sen} ( A ) \cos ( A ) \end{align}
\begin{align}\cos ( 2A ) = \cos^{2} ( A ) – {sen}^{2} ( A ) =1-2 {sen}^{2} ( A) =2 \cos^{2} ( A ) -1 \end{align}
\begin{align} \tan ( 2A ) = \frac{2 \tan ( A )}{1-tan^{2} ( A )} \end{align}
 Productos  \begin{align} 2 {sen} ( A ) \cos ( B ) = {sen} ( A+B ) + {sen} ( A-B )  \end{align}
\begin{align}2 \cos ( A ) {sen} ( B ) = {sen} ( A+B ) – {sen} ( A-B )  \end{align}
\begin{align}2 \cos ( A ) \cos ( B ) = \cos ( A+B ) + \cos ( A-B )  \end{align}
\begin{align} 2 {sen} ( A ) {sen} ( B ) = \cos ( A+B ) – \cos ( A-B )  \end{align}
 Despejes importantes \begin{align}{sen}^{2} ( A ) = \frac{1}{2} [ 1- \cos ( 2A ) ] \end{align}\begin{align}\cos^{2} ( A ) = \frac{1}{2} [ 1+ \cos ( 2A ) ] \end{align}
\begin{align}{sen}^{2} ( A ) =1- \cos^{2} ( A ) \end{align}
\begin{align}\cos^{2} ( A ) =1- {sen}^{2} ( A ) \end{align}
\begin{align} \tan^{2} ( A ) = \sec^{2} ( A ) -1 \end{align}
\begin{align} \cot^{2} ( A ) = \csc^{2} ( A ) -1 \end{align}

Con ayuda de las fórmulas de integración y las identidades trigonométricas ya puedes la integración de funciones trigonométricas!

NOTA: también puedes apoyarte de las formulas fundamentales de integración.

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