Inversa de una función

inversa de una función

Inversa de una función

Una función puede tener el mismo valor para distintos números de su domino, ejemplo si (x)= x3 , entonces (2) = 8 y (-2) = 8 y 2 ≠ -2. Para definir la inversa de una función es necesario que números diferentes en el dominio siempre produzcan valores distintos de , a estas funciones se les llama funciones biunívocas.

Una función es biunívoca si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. Siempre que en el dominio “a” es diferente a “b”, entonces (a) ≠ (b).
  2. Siempre que (a) = (b), en el dominio “a” es igual a “b”.
Función biunpivoca

Función biunívoca

  • Una función creciente es biunívoca.
  • Una función decreciente es biunívoca.

Definición de la inversa de una función

Si  es una función biunívoca con dominio en D y contradominio R y g es una función con dominio en R y contadominio D, entonces g será la función inversa de f , para esto se tiene que cumplir la siguiente condición:

y = (x) si y sólo si x =(y)

g invierte lo que la función  especifica, a esto se le llama inversa de una función:

inversa de una función 2

Si una función  tiene una función inversa g, se puede representar acomo  -1 . (NOTA: el -1 no debe confundirse con un exponente).

Dominio y contradominio de  f  y f -1 

El dominio de  -1 es el contradominio de  f.

El contradominio de  -1 es el dominio de  f.

Ahora surge una pregunta importante ¿Cómo determinar la inversa de una función biunívoca?

Si se puede procedemos a despejar x de la ecuación y = (x) en términos de y para obtener una ecuación x = g(y), si g((x))=x y (g(x))=x entonces g es la función inversa   -1 .

Reglas para determinar la inversa de una función (para cuando se puede despejar x):

  1.  Determinar si f  es una función biunívoca.
  2. Despejar x de la ecuación en términos de y.
  3. Comprobar que:
  • g((x))=x.
  • (g(x))=x.

 

EJEMPLOS

  1. (x) = 3x + 5
    • Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.

y=3x + 5

    • Despejamos “x”

x = (y – 5) / 3

f  -1(y)=(y – 5) / 3  lo que es lo mismo que f  -1(x)=(x – 5) / 3

    • Comprobamos:

f  -1((x))=f  -1(3x + 5) = ((3x + 5)-5)/3 = x

(f  -1(x))= (x – 5/ 3) = (3*(x – 5/ 3) )+5 = x

 

2. (x) = 3x + 2 / 2x – 5

  • Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.

y = 3x + 2 / 2x – 5

  • Despejamos “x”

y(2x – 5)= 3x + 2

2xy – 5y= 3x + 2

2xy – 3x = 2 + 5y

x(2y – 3) = 2 + 5y

x = 2 + 5y / 2y – 3

 -1(y)=2 + 5y / 2y – 3  lo que es lo mismo que f  -1(x)= 5x +2 / 2x – 3

  • Comprobamos:

f  -1((x))= -1(3x + 2 / 2x – 5) = x

(f  -1(x))= (5x +2 / 2x – 3)  = x

 

3. (x) = 1 / 3x – 2

  • Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.

y = 1 / 3x – 2

  • Despejamos “x”

y(3x – 2)= 1

3xy – 2y= 1

3xy = 1+ 2y

x= 2y+1 /3y

f -1(y)=2y+1 /3y lo que es lo mismo que  -1(x)= 2x+1 /3x

  • Comprobamos:

f  -1((x))=f  -1(1 / 3x – 2) = x

(f  -1(x))= (2x+1 /3x)  = x

Leave a Reply