Una función f puede tener el mismo valor para distintos números de su domino, ejemplo si f (x)= x3 , entonces f (2) = 8 y f (-2) = 8 y 2 ≠ -2. Para definir la inversa de una función es necesario que números diferentes en el dominio siempre produzcan valores distintos de f , a estas funciones se les llama funciones biunívocas.
Una función es biunívoca si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
- Siempre que en el dominio “a” es diferente a “b”, entonces f (a) ≠ f (b).
- Siempre que f (a) = f (b), en el dominio “a” es igual a “b”.
- Una función creciente es biunívoca.
- Una función decreciente es biunívoca.
Definición de la inversa de una función
Si f es una función biunívoca con dominio en D y contradominio R y g es una función con dominio en R y contadominio D, entonces g será la función inversa de f , para esto se tiene que cumplir la siguiente condición:
y = f (x) si y sólo si x = g (y)
g invierte lo que la función f especifica, a esto se le llama inversa de una función:
Si una función f tiene una función inversa g, se puede representar a g como f -1 . (NOTA: el -1 no debe confundirse con un exponente).
Dominio y contradominio de f y f -1
El dominio de f -1 es el contradominio de f.
El contradominio de f -1 es el dominio de f.
Ahora surge una pregunta importante ¿Cómo determinar la inversa de una función biunívoca?
Si se puede procedemos a despejar x de la ecuación y = f (x) en términos de y para obtener una ecuación x = g(y), si g(f (x))=x y f (g(x))=x entonces g es la función inversa f -1 .
Reglas para determinar la inversa de una función (para cuando se puede despejar x):
- Determinar si f es una función biunívoca.
- Despejar x de la ecuación en términos de y.
- Comprobar que:
- g(f (x))=x.
- f (g(x))=x.
EJEMPLOS
- f (x) = 3x + 5
- Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.
y=3x + 5
- Despejamos “x”
x = (y – 5) / 3
f -1(y)=(y – 5) / 3 lo que es lo mismo que f -1(x)=(x – 5) / 3
- Comprobamos:
f -1(f (x))=f -1(3x + 5) = ((3x + 5)-5)/3 = x
f (f -1(x))= f (x – 5/ 3) = (3*(x – 5/ 3) )+5 = x
2. f (x) = 3x + 2 / 2x – 5
- Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.
y = 3x + 2 / 2x – 5
- Despejamos “x”
y(2x – 5)= 3x + 2
2xy – 5y= 3x + 2
2xy – 3x = 2 + 5y
x(2y – 3) = 2 + 5y
x = 2 + 5y / 2y – 3
f -1(y)=2 + 5y / 2y – 3 lo que es lo mismo que f -1(x)= 5x +2 / 2x – 3
- Comprobamos:
f -1(f (x))=f -1(3x + 2 / 2x – 5) = x
f (f -1(x))= f (5x +2 / 2x – 3) = x
3. f (x) = 1 / 3x – 2
- Es una función creciente por lo tanto es biunívoca.
y = 1 / 3x – 2
- Despejamos “x”
y(3x – 2)= 1
3xy – 2y= 1
3xy = 1+ 2y
x= 2y+1 /3y
f -1(y)=2y+1 /3y lo que es lo mismo que f -1(x)= 2x+1 /3x
- Comprobamos:
f -1(f (x))=f -1(1 / 3x – 2) = x
f (f -1(x))= f (2x+1 /3x) = x