Números complejos

numeros complejos representacionHemos comentado muchas veces de qué forma es que “se crean” o “surgen” los distintos conjuntos numéricos, y el caso de los números complejos no es la excepción.

Recordarás cuando trabajamos hace un tiempo, las estrategias para Resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso. Al aplicar la fórmula matemática que nos permite arribar a las soluciones,  había un paso clave que era el análisis del signo del discriminante y cómo se relaciona este concepto con las raíces o soluciones. Te invito a releer un post anterior donde lo explicamos al detalle: Ecuaciones cuadráticas ¿qué es el discriminante?

No obstante, te recuerdo brevemente, que era un verdadero alivio cuando el discriminante era mayor o igual a cero; pero en aquellos casos en que el discriminante fuera negativo, simplemente expresamos que dicha la ecuación carece de raíces reales y las dejamos escritas o definidas como “raíces eran imaginarias o complejas”.

Pues está claro que las cosas no pueden quedar así sencillamente resignadas a esta expresión. A partir de esta necesidad de refinar el concepto, debe darse una extensión de los conjuntos numéricos, que abordaremos de forma axiomática para definirlos.

Números complejos

Definiré al conjunto de los números complejos, que notaremos con la letra C,  al conjunto de pares  de números reales, en el que es posible definir las dos siguientes operaciones:

Suma (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)

Multiplicación ( (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

  • ¿Qué es esto de los pares?

Te lo definiré de manera sencilla: por ejemplo en el número complejo que expresamos como (a,b), se presentan dos componentes (por eso le llamamos “par”)

–  a es la parte real del número complejo
–  b es la parte imaginaria del número complejo

Se dice entonces, que dos números complejos son iguales si sus respectivas partes enteras y sus respectivas partes imaginarias, son iguales. Expresado en símbolos, esto sería:

(a,b) = (c,d)   ⇔  a=c  ∧  b = d

  • Representación de números complejos

Será muy fácil para ti comprender que dado que los números complejos tienen estructura de pares de números reales como hemos visto anteriormente, es posible representar un número complejo como un punto expresado en un par de ejes coordenados cartesianos, definiendo a su primer componente como la coordenada “x” y al segundo componente como la coordenada “y”. La siguiente figura nos ayudará a comprender el concepto:

numeros complejos1

Así como los Números Naturales están contenidos dentro de los Números Enteros, y éstos a su vez dentro del conjunto de los Números Racionales, es razonable suponer que al incorporar la noción de un nuevo conjunto numérico, éste contiene a los antes conocidos.

Esto es exactamente así, y la propia definición de los números complejos a partir de pares ordenados, donde una de sus partes es precisamente un número real, evidencia este concepto. Así las cosas, consideramos  que los números reales están efectivamente contenidos en los números complejos.

Existe una forma alternativa de expresar los números complejos, que va más allá de las coordenadas cartesianas para expresarlo; a esta nueva forma se le llama “forma polar” de un número complejo y la abordaremos en una próxima entrega.

Imagen: en.wikipedia

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