Dentro de las muchas operaciones que pueden realizarse entre expresiones algebraicas, destacan los llamados productos notables. ¿Qué son los productos notables? Son productos que tienen una misma estructura, un tanto especial, cuyo resultado puede ser previsible y por tanto no es necesario desarrollarlos para llegar al mismo.
Los productos notables son cuatro, y se conocen por los siguientes nombres.
- Cuadrado de un binomio
- Binomios conjugados
- Binomios con un término común
- Factorización de polinomios de segundo grado
- Trinomio cuadrado perfecto
Los iremos abordando poco a poco; hoy dedicaremos espacio a los dos productos notables más “famosos” , es decir los primeros citados: cuadrado de un binomio y binomios conjugados.
Productos notables
Dos de los productos notables más conocidos, son entonces -como dijimos- cuadrado de un binomio y producto de binomios conjugados. Te propongo estudiarlos paso a paso.
- Cuadrado de un binomio
Es un producto muy especial, es decir, el caso de un binomio que se eleva al cuadrado, por tanto, estamos hablando del caso en que un binomio se multiplica por sí mismo. Habitualmente se lo señala partiendo de un binomio muy sencillo tal como (x+a) ó (a+b) por ejemplo. Está claro que cuando decimos un binomio, también contemplamos el caso en que el segundo término se esté restando del primero; esto se simbolizaría como (x-a) ó (a-b) si seguimos con los ejemplos anteriores.
Así las cosas, hablamos entonces de un producto cuya forma básica expresamos así
(x + a)2
Al desarrollarlo, (es decir al efectuarlo término a término) obtendríamos:
(x + a)2 = (x)(x) +(x) (a) + (a) (x) + (a) (a)
= x2 + 2xa + a2
Por este motivo, si prestas atención, este resultado puede expresarse mediante una fórmula o expresión general que declaramos así:
“El cuadrado de un binomio, es igual al cuadrado del primer término ( x2) , más / menos el doble producto del primero por el segundo (2xa) , más el cuadrado del segundo (a2).“
La formulación más / menos, alude a lo que dijimos antes, que sería “menos” en el caso de un binomio de la forma (x-a).
- Producto de binomios conjugados
Comienzo por definir qué son los binomios conjugados; son aquellos que tienen estructuralmente iguales su primer y segundo término, pero el primero de ellos tiene el segundo término positivo y el segundo de ellos lo tiene negativo. La definición parece un trabalenguas, pero si prestas atención es muy sencillo de ver; por ejemplo cualquiera de los casos siguientes es un producto de binomios conjugados:
(x + a)(x – a)
(a + b)(a – b)
Al desarrollarlo o efectuarlo, nos quedaría de este modo (ejemplificamos con el primer caso, es decir (x+a)(x-a)
(x + a) (x – a) = (x) (x) + (x) (-a) +(a) (x) +(a) (-a)=
x2 – xa + xa – a2=
x2 – a2
Como puedes observar, por definición, podríamos generalizar en que: “el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”.
¿Cuándo y cómo utilizamos los productos notables?
En el contexto de ejercicios más largos, en los que se hace necesario factorizar o desarrollar, es importante reconocer la presencia de un producto notable, porque esto nos da la posibilidad de aplicar cualquiera de las definiciones antes aprendidas, en la certeza de que ello nos ahorra tiempo y chance de errores. Aprende las definiciones anteriores de memoria y créeme que será ampliamente aprovechable tenerlas bien sabidas.
Imagen: es.wikipedia
