Proyecciones de Vectores y Vectores Ortogonales

Existen dos tipos de proyecciones de vectores:

Proyección de U en V y la Proyección de V en U. Explicaremos una por una.

Proyección de U en V

proy de u en V

 

La proyección de U en V es proporcional a V

La manera de calcularla es la siguiente:

Proy v U = [(U.V)/|V|^2] V

Donde U.V es el producto punto de los vectores, |V|^2 es la magnitud del vector V al cuadrado y toda esa operación por V que es el vector.

Proyección de V en U

proy v en u

 

La proyección de V en U es proporcional a U.

La manera de calcularla es la siguiente:

Proy u V = [(U.V)/|U|^2] U

Donde U.V es el producto punto, |U|^2 es la magnitud de U al cuadrado y toda esa operación es multiplicada por U.

La manera de aplicar esto en ejercicios es cuando se te dan dos vectores y te piden que las saques, veremos un ejemplo sencillo.

1. Teniendo los vectores U=(3,4) y V=(5,6), calcula las proyecciones de los vectores.

Proyección de U en V (Proy v U) =[(3.5 + 4.6)/(√61)^2] . (5,6)

Lo que tenemos que hacer primero es realizar el producto punto de arriba y ya con eso resolver la primera parte antes de multiplicar por el vector correspondiente. Nos queda la primer operación

Proy v U = 39/69 (5,6)

Y esta multiplicación la manera de realizarla es el escalar de afuera por cada uno de los de adentro de manera que nos quedara un vector que en esta caso seria la proyección.

Proy v U = (195/61, 234/61)

Ahora procedemos con nuestra siguiente proyección que es la de V en U.

Proyección de v en U (Proy u V) = [(3.5 + 4.6)/|(√25)^2] (3,4)

Igual que en la proyección anterior primero realizamos nuestra operación principal y después multiplicamos por el vector correspondiente y tenemos:

Proy u V = 39/25 (3,4)

Y ahora si efectuamos las multiplicaciones para obtener nuestra proyección y nos queda:

Proy u V = (117/25, 156/25)

Es la manera como se realizan ejercicios de sacar proyecciones de vectores, pero no es lo único nada mas saber la proyección sino que también nos sirve para conocer el vector ortogonal.

Así que lo siguiente es ver Vectores ortogonales a otro vector para sacarle mas provecho a las proyecciones.

 

Vectores Ortogonales a otro vector.

Para calcular estos se hace de la siguiente manera:

Para U = U – Proy v U

Para V = V – Proy u V

No es muy difícil pero es importante saber como sacar estos vectores para cuando se nos presenten problemas completos.

Aquí les tenemos un ejemplo para sacar estos con el ejercicio anterior que resolvimos y sacamos las proyecciones.

1. Teniendo las proyecciones de u y de v calcular los vectores ortogonales.

Proy v U = (195/61, 234/61)

Proy u V = (117/25, 156/25)

a) Para U = U – Proy v U = (3,4) – (195/61, 234/61)

Se hace x menos x y y menos y y tenemos:

Para U = (-12/61, 10/61)

b) Para V = V – Proy u V = (5,6) – (117/25, 156/25)

Igual x con x y y con y, nos queda:

Para V = (8/25, -6/25)

Solo consiste en restarle al vector su proyección correspondiente.

Ahora un ejemplo completo donde desde el inicio tengamos que a través de dos vectores sacar sus proyecciones y después sus vectores ortogonales.

2. Teniendo los vectores U=(3,2) y V =(1/2, 1/2) Sacar las proyecciones y vectores ortogonales.

Primero calculamos la magnitud de los vectores para ya sustituirlos en las formulas.

|V| = √(1/2)^2 + (1/2)^2 = √1/4 + 1/4 = √1/2

|U| = √3^2 + 2^2 = √9+4=√13

Ahora calculamos proyección por proyección empezamos con Proy v U

Proy v U = [(3.1/2 + 2.1/2) / (√1/2)^2] (1/2, 1/2)

 

El producto punto nos queda 5/2 y el denominador de nuestra primera parte de la operación 1/2 porque se va la raíz con la elevación al cuadrado y tenemos:

Proy v U = 5/2 / 1/2 (1/2, 1/2) = (5/4 / 1/2, 5/4 / 1/2)

Proy v U = (5/2, 5/2)

Continuamos con la Proy u V y tenemos:

Proy u V = [(5/2)/(√13)^2] (3,2)

Producto punto ya lo conocemos entonces es fácil sustituir y tenemos como primera parte:

Proy u V = 5/2 / 13 (3,2)

Hacemos la multiplicación:

Proy u V = (15/26, 5/13)

Ya con las proyecciones procedemos a las ortogonales y tenemos:

a) Para U = (3,2) – (5/2, 5/2) = (1/2, -1/2)

b) Para V = (1/2, 1.2) – (15/26, 5/13) = (-1/13, 3/26)

Y terminamos, es todo lo que se tiene que hacer, a continuación les dejamos mas ejercicios para resolver por su cuenta.

 

Mas ejercicios:

1. Según los vectores dados calcular proyecciones y vectores ortogonales.

a) U=(-5,-10) V=(-8,7)

b) U=(-6,9) V=(-2,2)

c) U=(1,4) V=(3,-1)

d) U=(-7,-5) V=(1,1)

 

 

 

 

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