Resolución de Sistema de Ecuaciones por medio de Matriz Inversa

Ya con los conocimientos de saber como obtener la inversa de una matriz el siguiente paso es pasar a resolver sistema de ecuaciones por medio del método de matriz inversa.

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Para eso es necesario revisar como manejar el sistema de ecuaciones, se necesita que teniendo nuestro sistema de ecuaciones al pasarlo a matriz nos quede así:

 

[a11 a12 … a1n]  [x1]    [k1]

[a21 a22 … a2n]  [x2] = [k2]

…                 …          ..

[an1 an2 .. ann]   [xn]     [kn]

 

AX = K

X= K/A

X= A^-1 * K

 

Para hacerlo mas claro lo veremos con un ejemplo corto de como representar el sistema de ecuaciones en matriz:

 

2x + 3y = 5

4x – y = 3

 

La representación quedaria:

 

[2 3]  [x] = [5]

[4 -1] [y]   [3]

 

Ahora empezaremos con la resolución de este mismo problema para que todo quede claro:

 

  1. 2x + 3y = 5

4x – y = 3

 

Pasamos a aplicar normal la matriz para convertirla a inverse y tenemos

 

[2 3 | 1 0]

[4 -1 | 0 1]

 

Dividimos entre 2 R1 y tenemos:

 

[1 3/2 | ½ 0]

[4 -1 | 0 1]

 

Ahora multiplicamos R1 por -4 y sumamos R2

 

[1 3/2 | ½ 0]

[0 -7 | -2 1]

 

Dividimos R2 entre -7 y obtenemos:

 

[1 3/2 | ½ 0]

[0 1 | 2/7 1/7]

 

Multiplicamos R2 por -3/2 y se lo sumamos a R1

 

[1 0 | 1/14 -3/14]

[0 1 | 2/7 1/7]

 

A^-1 = 1/14 [1 -3]

[4 2]

 

Ya con nuestra matriz inversa procedemos a sacar nuestros resultados con nuestra formula de X

 

Y tenemos que:

 

1/14 [1 -3] [5]  = 1/14 [-4]   =  [-2/7]

[4 2]  [3]                  [26]     [13/7]

 

Así es como se resuelve un sistema de ecuaciones con un ejemplo sencillo.

 

Veamos ahora un ejemplo un poco mas complejo con una matriz de 3×3.

 

  1. -2x + 4y -6z = -18

2x + 3y -5z = -11

4x -7y +2x = 15

 

Pasamos nuestras ecuaciones a matriz y tenemos

 

[-2 4 -6 | 1 0 0]

A= [2 3 -5 | 0 1 0]

[4 -7 2 | 0 0 1]

 

Empezamos a hacer Gauss-Jordan por lo que dividimos nuestro R1 entre -2 y nos queda:

 

[1 -2 3 | -½ 0 0]

[2 3 -5 | 0 1 0]

[4 -7 2 | 0 0 1]

 

El siguiente paso es multiplicar R1 por -2 y -4 y sumarle R2 y R3 respectivamente y tenemos:

 

[1 -2 3 | -½ 0 0]

[0 7 -11 | 1 1 0]

[0 1 -10 | 2 0 1]

 

Para simplificar las cosas al ya tener un 1 en el R3 en el espacio que necesitamos cambiamos R2 por R3 y multiplicamos el Nuevo R2 por -7 y le sumamos el Nuevo R3 para tener nuestra matriz de la siguiente manera:

 

[1 -2 3 | -½ 0 0]

[0 1 -10 | 2 0 1]

[0 0 59 | -13 1 -7]

 

Ahora dividimos R3 entre 59  y nos queda:

 

[1 -2 3 | -½ 0 0]

[0 1 -10 | 2 0 1]

[0 0 1 | -13/59 1/59 -7/59]

 

Empezamos de atrás para adelante ahora y multiplicamos R3 por 10 y por -3 por R1 y R2 respectivamente para hacer ceros y buscar nuestra matriz identidad y nos queda:

 

[1 -2 0 | 19/118 -3/59 21/59]

[0 1 0 | -12/59 10/59 -11/59]

[0 0 1 | -13/59 1/59 -7/59]

 

Por ultima para ya tener nuestra matriz inversa completa convertimos nuestro ultimo 0 por lo que multiplicamos R2 por 2 y le sumamos R1 para tener finalmente:

 

[1 0 0 | -29/118 17/59 -1/59]

[0 1 0 | -12/59 10/59 -11/59]

[0 0 1 | -13/59 1/59 -7/59]

 

Entonces tenemos que nuestra matriz inversa es  :

 

[-29/118 17/59 -1/59]

A^-1 =  [-12/59 10/59 -11/59]

[-13/59 1/59 -7/59]

 

Simplificamos la matriz y tenemos:

 

[-29 34 -2]

A^-1 = 1/118 [-24 20 -22]

[-26 2 -14]

 

Y ya con nuestra matriz inversa pasamos a sacar los valores de nuestras incógnitas con el método previamente visto  que consiste en multiplicar cada renglón por  los resultados de cada ecuación y tenemos:

 

[-29 34 -2]   [-18]                  [118]       [1]

A^-1 = 1/118 [-24 20 -22] [-11] = 1/118 [-118] = [-1]

[-26 2 -14]    [15]                   [236]       [2]

 

Entonces X=1, Y=-1 y Z=2.

 

Así es la manera en la que se resuelven sistemas de ecuaciones por medio de la matriz inversa, un método no tan fácil como solo efectuar Gauss-Jordan a un sistema pero ya entendiendo bien el método que es hacer Gauss-Jordan con una matriz identidad pegada y transformar la matriz original en identidad para obtener la inversa y así multiplicar esta por los resultados de las ecuaciones para obtener los valores de las incógnitas.

 

Mas ejercicios:

 

1.

2x + 4y + 3z = 6

0x + y – z = -4

3x + 5y +7z = 7

 

2.

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18

4x1 +5x2+ 6x3  = 24

3x1  + x2  + 2x3  = 4

 

 

 

 

 

 

 

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