Vectores: Producto Punto y Producto Cruz

Para los vectores existen dos modos o maneras de multiplicarlos

  • Producto Punto
  • Producto Cruz

Veremos cada uno por separado para entenderlos de la mejor manera

Producto Punto

pp

El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera:

Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual que como lo hacíamos solo que aquí sera nada mas del escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo.

Pero para la dirección si cambia un poco, existen dos maneras de sacar la dirección de un producto punto:

1) La primera es  Θ = Cos^-1 [U.V(Producto Punto) / |U||V|

Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la division del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.

2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa y restar ambas. En formulas sería:

β = Tan^-1 Y1/X1

∝ = Tan ^-1 Y2/X2

Θ = β – ∝

Ambas maneras de sacar la dirección deben de llegar al mismo resultado.

A continuación un ejemplo para dejar en claro como hacer el producto punto, sacar su magnitud y dirección.

1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y dirección.

U = (3,7)

V = (6,3)

U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39

|U.V| = √39^2=39

Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se puede llegar al mismo resultado

1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que son:

|U| = √3^2 + 7^2 = √58

|V| = √6^2 + 3^2 = √45

Θ = Cos^-1 [39/ √58 .√45 = 40.23

2) Para la segunda manera hay que sacar alfa y beta y restarle a beta alfa. Tenemos:

β = Tan^-1 (7/3) = 66.8

∝ = Tan ^-1 (3/6) = 26.56

Θ = 66.8 – 26.56 = 40.23

Y como se aprecia ambos resultados son iguales.

Así es como se realiza el producto punto en vectores y se saca su magnitud y dirección. Momento de pasar al otro método.

 

Producto Cruz

pc

El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector  y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.

La manera es la siguiente:

Teniendo

U = ai + bj + ck

V = di + ej + fk

[i j k]

UxV = Det  [a b c]

[d e f]

[i j k]

VxU = Det  [d e f]

[a b c]

Lo que nos lleva a que UxV = VxU entonces no importa de que manera efectuemos para sacar nuestro producto cruz es igual.

Para el Producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados de sus constantes del vector y su area es de un modo distinto porque se produce un paralelogramo.

Para este paralelogramo primero se saca su area, pero lo curioso es que su area es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas.

Y para la dirección se hace de la siguiente manera Θ = Sen ^-1 [|UxV| / |U||V|].

Es decir, el seno a la menos 1 de la division de la magnitud del producto cruz sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores.

A continuación un ejemplo para que sea mas gráfica la apreciación de como obtener el producto cruz de dos vectores.

1. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

U = 2i +3j + k

V = i + j + 2k

UxV = Det [i j k]   i j

[2 3 1] 2 3

[1 1 2] 1 1

Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos:  6i + j + 2k – (3k + i + 4j) = 5i – 3j – k

El producto cruz es 5i – 3j – k

Su magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35

Su area: √35 u^2

Su dirección: Para esta primero hay que sacar las magnitudes de los vectores

|U| = √6

|V| = √14

Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20

Simple y sencillo todo el método.

 

Ejercicios de Producto Punto y Producto Cruz:

1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores así como su magnitud y dirección:

a) U = (5,4) V = (2,1)

b) U = (4,7) V = (1,8)

2. Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

a) U = 3i +4j + 6k  y V = 3i + 5j + 2k

b) U = i +5j + 2k  y V = 4i + 3j + 4k

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