Resolver Matrices por Método Gauss

Teniendo la Matriz A=

[a11 a12 a13 …      a1n]

[a21 a22 a23 …      a2n]

…………

[am1 am2 am3 … amn]

 

En lo que consiste Gauss es en llegar a una matriz, cuya diagonal principal existan unos(1), debajo de la diagonal existan ceros(0) y sobre la diagonal números.

gauss18k

Es decir:

 

[a11 a12 a13]         [1 b12 b13]

[a21 a22 a23] —-  [0    1   b23]

[a31 a32 a33]         [0    0        1]

 

La manera de llevar acabo es para hacer unos la diagonal ir dividiendo el numero que tenemos en la matriz entre si mismo para convertirlo en 1 y para lograr los ceros la manera es multiplicando por el numero que esta en la matriz la fila de arriba al numero a ser cero y restar ambas filas.

 

Veremos un ejemplo

 

  1. Teniendo la Matriz

A

[2 5]

[1 7]

Hacerla con unos en la principal diagonal, ceros debajo de esta y dejar los números que queden sobre la diagonal.

 

Al ver que ya tenemos un 1 en la fila debajo una manera muy simple de tener nuestro primer 1 es cambiando las filas de lugar y nuestra matriz queda:

 

A

[1 7]

[2 5]

 

La mejor recomendación para hacer Gauss es empezar por columnas, es decir, ir hacienda el ejercicio de columna en columna, por lo que toca convertir el 2 en 0, entonces multiplicamos la fila 1 por 2 y le restamos la fila 2 –importante saber que nuestra fila que fue multiplicada no cambia solo se afecta para efectos del ejercicio – y nuestra matriz nos queda:

A

[1 7]

[0 9]

 

Ahora como nuestra matriz tiene que tener unos en su diagonal y los de encima de esta se pueden quedar como están pasamos a transformar el 9 en 1 dividiendo la fila 2 entre 9, y así nuestra matriz A nos queda de la siguiente manera:

 

A

[1 7]

[0 1]

 

Otro ejemplo mas para ejemplificar mas la elaboracion del Gauss

 

  1. Teniendo la Matriz

A

[1  7  6]

[5  4  2]

[3  5  8]

Como ya tenemos nuestro primer uno pasamos a convertir el resto de los números de la columna en 0, por lo que multiplicamos nuestra fila 1 por 5 y por 3 respectivamente y las restamos por sus correspondientes y la matriz nos queda así:

 

A

[1   7    6]

[0 31 28]

[0 16 10]

 

Ahora pasamos a convertir a 1 el 31, dividimos la fila 2 sobre 31 y el 16 a 0 por lo que ya con el 1 que nos quedaría en nuestra fila 2, multiplicamos por 16 la fila 2 y le restamos la fila 3 y la matriz nos queda:

 

A

[1 7 6]

[0 1 28/31]

[0 0  138/31]

 

Y al final dividimos nuestra fila 3 entre 138/31 para que nos quede nuestro ultimo 1 de la diagonal y la matriz resultante ya con el Gauss completo nos queda:

 

A

[1 7 6]

[0 1 28/31]

[0 0 1]

 

De esa manera se realiza el Gauss, la recomendación siempre es buscar la manera mas fácil de resolver, si tenemos algún 1 en las filas de abajo buscar ponerlo en el fila numero 1  y a partir de ahí resolver.

 

Una cosa a no olvidar será que cuando multiplicamos alguna fila no la afectamos directamente en nuestra matriz simplemente se afecta para resolver el Gauss.

 

Ejercicios para resolver

 

  1. Aplicar Gauss y resolver las siguientes matrices

1.1:

A

[3 5]

[6 2]

 

1.2:

B

[2 3 10]

[1 3 7]

[2 5 8]

 

1.3:

X

[2 4 6]

[4 5 6]

[3 1 -2]

 

1.4

C

[3 12]

[5 4]

 

Leave a Reply