Axiomas y teoremas en geometría

axiomas y teoremas¿Qué es un axioma? Hablar de axiomas y teoremas en geometría debería ser algo familiar para ti, pues algo mencionamos ya cuando hicimos referencia a punto, recta y plano. Lo cierto es que hablar de axiomas y teoremas es muy frecuente, pero no siempre todos los maestros y profesores se detienen a definir el alcance de cualquiera de los dos conceptos o -mejor aún- a dejar bien claras las diferencias entre ellos.

Como siempre desde aquí, nos dedicaremos a aclarar esta duda, ejemplos incluidos para que quede bien simple de comprender.

Axiomas y teoremas en geometría

  • ¿Qué es un axioma?

Un axioma es una declaración, que se considera verdad per sé, es decir en forma contundente, y que por ser una verdad básica no puede ser probada o demostrada porque simplemente se considera evidente. Básicamente, y dicho de otra forma (no sólo para geometría) cualquier cosa que de declare verídica y aceptada como tal, pero no goza de  ninguna prueba o carece de  alguna práctica forma de probarlo, es un axioma. También en algunos cursos o asignaturas, se hace referencia a ellos con el nombre de postulado, en términos de una suposición.

En los hechos, los fundamentos posibles de un axioma, son sencillamente ignorados:  si algo se declara en carácter de axioma,  simplemente “es” y no hay necesidad para deliberar nada más. Sin embargo, muchos axiomas, todavía hoy son desafiados por mentes diferentes, y sólo el tiempo dirá si están locos o son genios.

Es bueno señalar que los axiomas se pueden categorizar en dos tipos:  como  axiomas lógicos o axiomas no-lógicos. Los axiomas lógicos son declaraciones universalmente aceptadas y válidas, mientras que los axiomas no-lógicos son expresiones lógicas generalmente,  utilizadas en la construcción de teorías matemáticas.

En matemáticas y en geometría, los axiomas tienen un rol importante, desde el momento que sirven como punto de partida de otras declaraciones matemáticas. Estas declaraciones, que se derivan de axiomas, se llaman precisamente teoremas, y su definición, como dice en nuestro título, es objeto de nuestro post de hoy.

  • ¿Qué es un teorema?

Un teorema, por definición, es una afirmación probada basada en algún conjunto de afirmaciones lógicos, otros teoremas o directamente en axiomas. Los teoremas se postulan y posteriormente se prueban, muy a menudo esto se hace  a través de rigurosos razonamientos matemáticos y lógicos, y el proceso de prueba, por supuesto, implicará un o más axiomas y otras declaraciones que ya son aceptadas para ser verdad.

¿Cómo se postula un teorema? El “protocolo” clásico tiene dos partes; por un lado la hipótesis  (de dónde partimos, cuál es el contexto o las condiciones de los elementos que involucran nuestra afirmación) y por otro lado la tesis (la afirmación en sí misma que constituye aquello que queremos probar).

Es bueno señalar que existe un reducido número de teoremas que algunos consideran como axiomas, puesto que se componen de la suma de declaraciones que intuitivamente se asumen para como verdades. Sin embargo, técnicamente está bien que sean considerados como teoremas, debido al hecho de que ellos pueden obtenerse mediante principios de deducción.

Imagen: joselueng1

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