En el marco de la teoría de conjuntos, llegó el momento de definir algunos conceptos importantes que más tarde utilizarás a menudo: me refiero al conjunto vacío y subconjuntos, que necesitarás al ejercitarte en esta rama de la matemática que más que “rama” es el fundamento de muchos conceptos básicos.
Antes de continuar trabajando sobre el tema que hoy nos ocupa, te invito a releer otro post relacionado, que titulamos Pertenencia e inclusión en conjuntos . En el mismo trabajamos la diferencia entre los conceptos de pertenencia e inclusión, y si relees el mismo, no necesitamos repetir aquí su contenido.
Conjunto vacío y subconjuntos
- Concepto de subconjunto
Decimos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B.
Cuando trabajamos antes la relación de inclusión, decíamos que es correcto expresar esta relación (que A es un subconjunto de B) diciendo también que “A está incluido en B”. Utilizando el lenguaje o símbolos matemáticos, esto se expresa de la siguente manera
A ⊂ B
Es posible realizar esta misma afirmación, pero diciendo que el conjunto B contiene al conjunto A, o -lo que es lo mismo- que el conjunto B incluye al conjunto A. Esto también puede escribirse con símbolos matemáticos:
B ⊃ A
¿Te gustaría que pusiera un ejemplo real? Mira es muy sencillo: llamemos B al conjunto de los habitantes de la ciudad de Bogotá y C al conjunto de los habitantes de Colombia. Es claro y correcto decir, que los habitantes de Bogotá son un subconjunto de los habitantes de Colombia. Esto se expresaría en símbolos, de la siguiente manera:
B ⊂ C
lo que significa que B está incluido en C.
- Concepto de conjunto vacío
Técnicamente se define un conjunto vacío, como un conjunto que no tiene ningún elemento. Si me pides un ejemplo, podría decirte que T es el conjunto de los seres humanos que tienen tres cabezas, lo cual es -lógicamente- un conjunto vacío.
Parece una definición y un concepto un tanto absurdo, pero créeme que no lo es. A tal punto es un concepto clave que tiene su propio símbolo matemático que es el siguiente:
Conjunto vacío = ∅
Me gustaría citar una propiedad importante del conjunto vacío, precisamente por estar relacionada al concepto de subconjunto al que hacíamos referencia en el ítem anterior. La propiedad en cuestión es la siguiente:
- El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos
Otra propiedad importante es que todo conjunto es sub conjunto de sí mismo. A pesar de que -al igual que la anterior- pueda parecer una propiedad absurda o muy básica, es un punto clave a la hora de demostrar la igualdad de conjuntos.
Te invito a estar pendiente a un próximo post de ejercicios sobre conjuntos, como siempre, con resultados con el fin de que puedas evaluar por ti mismo en qué medida vas comprendiendo los conceptos claves de este tema y cómo vas aplicándolos a un nivel más elevado cada vez.
