Antes de entrar al tema de las desigualdades con valor absoluto empecemos por definir una desigualdad.
Resolver una desigualdad significa encontrar un intervalo que satisface a la desigualdad original.A ese intervalo le llamaremos intervalo solución. Para resolver una desigualdad se utilizan las técnicas de las ecuaciones, con la siguiente diferencia “Cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte”.
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver desigualdades con valor absoluto es necesario aplicar las propiedades del valor absoluto que son:
|x + a| > b = x + a > b ó x + a < -b
|x + a| > b = x + a < b ó x + a > -b
Ejemplos
Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto, expresando la respuesta en forma de invervalo:
1. |2x +4 | > 7
2x + 4 > 7
2x > 7 – 4
2x > 3
x > 3/2
2x + 4 < -7
2x < -7 – 4
2x < -11
x < -11/2
(-∞, -11/2) U (3/2, ∞)
2. |2x + 4| < 7
2x + 4 < 7
2x < 7 – 4
2x < 3
x < 3/2
2x + 4 > -7
2x > -7 – 4
2x > -11
x > -11/2
(-11/2, 3/2)
3. |2x + 3 /( x – 1 )| > 1
2x + 3 / ( x -1 ) > 1
(2x + 3 / ( x -1 )) – 1 > 0
2x + 3 – x + 1 / ( x -1 ) > 0
x + 4 / ( x -1 )> 0
x = -4
x = 1
2x + 3 / ( x -1 ) < -1
(2x + 3 / ( x -1 )) + 1 < 0
2x + 3 + x – 1 / ( x -1 ) < 0
3x + 2 / ( x -1 )< 0
x = -2/3
x = 1
(-∞, -4) U (-2/3, 1) U (1, ∞)
4. |2x + 1| > -1
(-∞, ∞)
5. |2x + 1| < -1
No hay solución.
6. |x2 – 4| > 0
x2 – 4 > 0
x2 > 4
x2 – 4 < 0
x2 < 4
(-∞, -2) U (-2, 2) U (2, ∞)
7. |x2 – 4| >= 0
x2 – 4 >= 0
x2 >= 4
x2 – 4 >= 0
x2 >= 4
(-∞, ∞)
No olvides seguir practicando para que domines estas desigualdades!
