Antes de entrar al tema de las desigualdades cuadráticas empecemos por definir una desigualdad.
Resolver una desigualdad significa encontrar un intervalo que satisface a la desigualdad original. A ese intervalo le llamaremos intervalo solución. Para resolver una desigualdad se utilizan las técnicas de las ecuaciones, con la siguiente diferencia “Cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte“.
Las desigualdades cuadráticas son equivalentes a una ecuación de segundo grado, es decir tienen una variable elevada al exponente dos.
Desigualdades cuadráticas
Para ilustrar mejor como se resuelven las desigualdades cuadráticas te pongo los siguientes ejemplos:
1. \[ x^{2} -4>0 \]
Descomponemos en factores:
\begin{align} ( x+2 ) ( x-2 ) >0 \end{align}
Hay dos casos que podemos hacer:
Caso #1 los dos factores son positivos
\begin{align} ( x+2 ) >0; x > -2 \end{align}
\begin{align} ( x-2 ) >0; x >2 \end{align}
Caso #2 los dos factores son negativos
\begin{align} ( x+2 ) <0; x < -2 \end{align}
\begin{align} ( x-2 ) <0; x <2 \end{align}
Resultado: para obtenerlo probamos las raíces obtenidas en la desigualdad original y vemos en cuales si se cumple.
\begin{align} ( – \infty , -2 ) U ( 2 , \infty )\end{align}
2. \begin{align} x^{2} -4<0 \end{align}
\begin{align}( x+2 ) ( x-2 ) <0 \end{align}
\begin{align} ( x+2 ) <0; x < -2 \end{align}
\begin{align}( x-2 ) <0; x <2 \end{align}
\begin{align} ( x+2 ) >0; x > -2 \end{align}
\begin{align} ( x-2 ) >0; x >2 \end{align}
\begin{align}( -2,2 )\end{align}
3.
\begin{align}x^{2} -25>=0\end{align}
\begin{align}( – \infty ,-5 ] U [ 5, \infty )\end{align}
4.
\begin{align}x^{2} -1<=0\end{align}
\begin{align} [ -1,1 ]\end{align}
5.
\begin{align}x^{2} -36>0\end{align}
\begin{align}( – \infty ,-6 ) U ( 6, \infty )\end{align}
6.
\begin{align}x^{2} -36<=0\end{align}
\begin{align}[ -6,6 ]\end{align}
7.
\begin{align}x^{2} +5x+6<0\end{align}
\begin{align}( -3,2 )\end{align}
8.
\[ x^{2} +4>0 \]
\begin{align}( -\infty,\infty)\end{align}
9.
\[ x^{2} +4<0 \]
No hay solución; ya que esa desigualdad con cualquier valor siempre será positiva (mayor a cero).
10.
\[ x^{2} +x+1>0 \]
\begin{align}( -\infty,\infty)\end{align}
NOTA: En los intervalos, el paréntesis significa > o <, es decir que el número que está en el paréntesis no se incluye dentro del intervalo, y los corchetes significan >= o <= es decir que el número en el corchete si se incluye dentro del intervalo.