Uno de los primeros desafíos, una vez que aprendimos ¿Qué es la Geometría Analítica?, es comenzar a trabajar en los primeros cálculos. La Distancia entre dos puntos es para nosotros el primero de esos retos, que nos ayudará además a comprender de dónde surgen las primeras fórmulas.
Aprenderemos el concepto y el interesante camino para arribar a una fórmula que se pueda utilizar en forma práctica en cálculos posteriores.
Distancia entre dos puntos
Lo que queremos calcular, se comprende mucho mejor si vamos paso a paso con los ejemplos adecuados. Observa con cuidado la siguiente figura:
El segmento que forman los puntos A y B (que podríamos llamar segmento AB) está sobre el eje horizontal, por lo que es muy sencillo visualizar que la distancia entre sus dos extremos es 3, ya que el punto A está en (2,0) y el punto B está en (5,0). Si piensas un poco, la distancia entre esos dos puntos puede surgir de restar la coordenada Xb (es decir la coordenada x del punto B), menos la coordenada Xa (es decir la coordenada x del punto B). Tal resta, sería 5-2, lo que nos da 3, precisamente la distancia que se visualiza a nivel de imagen, sin realizar ningún cálculo.
Es muy sencillo también, si la distancia que queremos calcular está representada por un segmento que esté sobre el eje de las “y”, o por lo menos en posición vertical. Observa la siguiente figura:
En este caso sucede algo parecido al anterior ejemplo: visualmente podríamos deducir (antes de hacer ningún cálculo analítico) que la distancia entre estos puntos es 3 (contando simplemente los cuadraditos que hay entre la coordenada 1 y la 4).
Ahora bien… el caso es que la distancia entre dos puntos no siempre la vamos a medir sobre un segmento que esté en posición netamente horizontal, o netamente vertical. La mayoría de las veces será en situaciones como la siguiente:
Como podemos observar, el segmento en cuestión tiene -como todos los segmentos de recta- dos extremos: el punto A (2,1) y el punto B (4,5). Calcular la distancia entre esos dos puntos, es calcular la longitud del segmento AB. Para ello, nos valdremos de la siguiente fórmula, que proviene de aplicar Teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo “imaginario” del cual el segmento AB es la hipotenusa.
Vale aclarar que llamamos Xb e Yb, respectivamente a las coordenadas X e Y del punto B, y lo mismo con el punto A. Lo mejor es explicarlo a través de un ejemplo.
Supongamos que queremos hallar la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1) . Como puedes ver, en este caso, Xb es 4 (la coordenada “x” del punto B) y Xa es 7. Del mismo modo, decimos que Yb es 1 e Ya es 5. Usamos la fórmula y la aplicación de la misma quedaría así:
Por lo que la distancia de los puntos en cuestión, es 5. Esta fórmula es válida para todas las situaciones, incluso si alguna de las coordenadas involucradas vale cero, o lo que es lo mismo, el segmento estuviera en coincidencia con alguno de los ejes.
Imagen: quiz.uprm
