Matriz Inversa por Cofactores

Para calcular la Matriz Inversa es de la siguiente manera:

A^-1 = 1/DA x (Matriz adjunta de A)

Determinante de la Matriz A tiene que ser Diferente de 0.

Matriz Adjunta de A: Transpuesta de la matriz de cofactores de A.

Transpuesta: Cambiar las filas por columnas de la matriz.

 

cofac

 

Matriz de cofactores

  • Obtener los menores de cada termino
  • Multiplicarlo por el signo que le corresponde
  • Obtener el cofactor de cada menor(Determinante)
  • Armar la matriz de cofactores

 

En pocas palabras es encontrar la matriz inversa por medio de determinantes y a continuación se vera como.

 

Aquí un ejemplo para que quede mas claro en que consiste la Matriz Inversa por cofactores:

 

  1. [2 4 3]

[0 1 -1]

[3 5 7]

 

Lo primero que hay que hacer es sacar el determinante a la matriz que tenemos

 

[2 4 3] 2 4

[0 1 -1] 0 1

[3 5 7] 3 5

 

Det = (14-12+0) – (9-10+0) = 2 + 1

Det = 3

 

Ahora empieza prácticamente el método, según nuestra matriz de signos y aplicamos el método de cofactores visto previamente en determinantes  por lo que agarramos la primera fila y a partir de ahi empezamos a aplicar por lo que tenemos:

 

a11 +[1 -1]    a12 –[0 -1]   a13+[0 1]

[5 7]                [3 7]               [3 5]

 

a21 –[4 3]     a22 +[2 3]     a23 –[2 4]

[5 7]                [3 7]               [3 5]

 

a31 +[4 3]    a32 –[2 3]   a33 +[2 4]

[1 -1]             [3 7]              [3 5]

 

Sacamos nuestra matriz calculando los determinantes de cada espacio y tenemos:

 

a11 Det=12  a12 Det=-3  a13 Det=-3

a21 Det=-13  a22 Det=5  a23 Det=2

a31 Det=-7  a32 Det=2  a33 Det=2

 

Los colocamos en una matriz y nos queda:

 

[12 -3 -3]

[-13 5 2]

[-7 2 2]

 

Ahora para sacar la matriz adjunta tenemos que cambiar las filas por las columna de modo que nuestra matriz adjunta nos queda:

 

[12 -13 -7]

[-3 5 2]

[-3 2 2]

 

Y como tenemos arriba en las formulas, nuestra matriz inversa sera la multiplicación de 1/DA por la matriz adjunta y sera:

 

A^-1 = 1/3 [12 -13 -7]

[-3 5 2]

[-3 2 2]

 

La manera para comprobar si estamos o no en lo correcto es multiplicar la matriz adjunta por la original y nos tiene que dar como resultado la matriz identidad.

 

 

Otro ejemplo para aclarar dudas de como realizar este método

2.        [9 3 9]

[6 -10 4]

[10 7 5]

 

Sacamos el determinante de la matriz

 

[9 3 9] 9 3

[6 -10 4] 6 -10

[10 7 5] 10 7

 

Det = (-450+120+378) – (-900+252+90) = 606

Det = 606

 

Continuamos con sacar el determinante de la matriz por el metodo de cofactores escogiendo la primera fila y tenemos:

 

a11 +[-10 4]    a12 –[6 4]   a13+[6 -10]

[7 5]                  [10 5]           [10 7]

 

a21 –[3 9]     a22 +[9 9]     a23 –[9 3]

[7 5]                [10 5]             [10 5]

 

a31 +[3 9]    a32 –[9 9]   a33 +[9 3]

[-10 4]          [6 4]              [6 -10]

 

Sacamos nuestra matriz calculando los determinantes de cada espacio y tenemos:

 

a11 Det=-78  a12 Det=10  a13 Det=142

a21 Det=48  a22 Det=-45  a23 Det=-33

a31 Det=102  a32 Det=18  a33 Det=-108

 

Los colocamos en una matriz y nos queda:

 

[-78 10 142]

[48 -45-33]

[102 18 -108]

 

Para sacar nuestra matriz adjunta cambiamos las filas por las columnas y nos queda:

 

[-78 48 102]

[10 -45 18]

[142 -33 -108]

 

Y como tenemos arriba en las formulas, nuestra matriz inversa sera la multiplicación de 1/DA por la matriz adjunta y sera:

 

A^-1 = 1/606 [-78 48 102]

[10 -45 18]

[142 -33 -108]

 

Y así es como sacamos la matriz inversa por medio de cofactores.

 

Mas ejercicios de matriz inversa por medio de cofactores:

 

1.

[2 5 -1]

[4 1 3]

[-2 2 0]

 

2.

[1 1 1]

[2 0 -1]

[1 3 6]

 

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