El producto punto o producto escalar es una multiplicación de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos , si deseas repasar más el tema te recomiendo que leas el siguiente artículo “Producto punto”
Ejemplos de producto punto
Te pongo los siguientes ejemplos para que puedas ver como se resuelven,
1.-\begin{align} \vec{u} = [-2, 3, -5] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 2, 4, 1 ] \end{align}
\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \cdot 2+3\cdot 4 + (-5) \cdot 1 = 3\end{align}
2.-\begin{align} \vec{u} = [-3, -4, 5] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 2, 6, 7 ] \end{align}
\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \cdot 2+(-4) \cdot 6 +5\cdot 7 = 5\end{align}
3.-\begin{align} \vec{u} = [-2, 6, 5] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ -3, 5, -4] \end{align}
\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = -2\cdot (-3) +6\cdot 5 +5 \cdot (-4) = 16\end{align}
4.-\begin{align} \vec{u} = [8, 3, -2] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 1, -5, 4 ] \end{align}
\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = 8\cdot 1 +3\cdot (-5) +(-2) \cdot 4 = -15\end{align}
5.-\begin{align} \vec{u} = [-2, -5, 8] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [-3, 7, 1] \end{align}
\begin{align} \vec{u} = \sqrt{ (-2)^{2} + (-5)^{2} +8^{2}} = 9.64\end{align}
\begin{align} \vec{v} = \sqrt{ (-3)^{2} + 7^{2} +1^{2}} = 7.68 \end{align}
\begin{align} \cos \alpha = \frac{(-2)\cdot (-3) +(-5) \cdot 7+8 \cdot1 }{\sqrt{ (-2)^{2} + (-5)^{2} +8^{2}} \cdot \sqrt{ (-3)^{2} + 7^{2} +1^{2}}} = = -0.283\end{align}
\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | 9.64| \cdot | 7.68 | \cdot -0.283 = -21 \end{align}
6.-\begin{align} \vec{u} = [6, 8, -1] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 9, 0, -2 ] \end{align}
\begin{align} \vec{u} = \sqrt{ 6^{2} +8^{2} +(-1)^{2}} = 10.05\end{align}
\begin{align} \vec{v} = \sqrt{ 9^{2} + 0^{2} +(-2)^{2}} = 9.22 \end{align}
\begin{align} \cos \alpha = \frac{6\cdot 9 +8 \cdot 0+(-1) \cdot(-2)}{\sqrt{ 6^{2} +8^{2} +(-1)^{2}} \cdot \sqrt{ -9^{2} + 0^{2} +(-2)^{2}}} = = 0.604\end{align}
\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | 10.05| \cdot | 9.22 | \cdot 0.604 = 56 \end{align}
7.-\begin{align} \vec{u} = [-3, 4, 5] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ -5, 2, 3 ] \end{align}
\begin{align} \vec{u} = \sqrt{ (-3)^{2} + 4^{2} +5^{2}} = 7.07\end{align}
\begin{align} \vec{v} = \sqrt{ (-5)^{2} + 2^{2} +3^{2}} = 6.16 \end{align}
\begin{align} \cos \alpha = \frac{(-3)\cdot (-5) +4 \cdot 2+5 \cdot3}{\sqrt{ (-3)^{2} + 4^{2} +5^{2}} \cdot \sqrt{ (-5)^{2} + 2^{2} +3^{2}}} = 0.872\end{align}
\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | 7.07| \cdot |6.16 | \cdot 0.872 = 38 \end{align}