Producto Punto

Producto punto

El producto punto, también conocido como producto escalar , es una multiplicación de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos:

\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos   \alpha\end{align}

También se puede obtener el resultado como:

\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2} +u_{3} \cdot v_{3} \end{align}

Cuando:

\begin{align} \vec{u} = [ u_{1} ,u_{2},u_{3} ] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ v_{1} ,v_{2},v_{3} ] \end{align}

Recordando, el módulo de un vector se obtiene de la siguiente manera:

\begin{align} \sqrt{ u_{1}^{2}   +  u_{2}^{2}  +u_{3}^{2}} \end{align}

Y el angulo entre dos vectores se puede obtener con la siguiente fórmula:

\begin{align} \cos \alpha = \frac{u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2} +u_{3} \cdot v_{3}}{\sqrt{u_{1}^{2} +u^{2}_{2} +u^{2}_{3}} \cdot \sqrt{v_{1}^{2} +v_{2}^{2} +v_{3}^{2}}} \end{align}

Propiedades del producto punto

Asociativa

\begin{align}j \cdot ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) = ( j \cdot \vec{v} ) \cdot \vec{u}\end{align}

Conmutativa

\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{v \cdot} \vec{u}\end{align}

Distributiva

\begin{align}\vec{u} \cdot ( \vec{o} + \vec{v} ) = \vec{u} \cdot \vec{o}+\vec{u} \cdot \vec{v} \end{align}

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

\begin{align}\vec{u} \neq 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{u} >0\end{align}

Ejemplos

Para los siguientes ejemplos obtendremos el producto punto de dos vectores, tres los resolveremos con la primer formula y los otros dos obteniendo el ángulo y el módulo de cada vector.

1.-

\begin{align} \vec{u} = [1 ,2,3] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 3 ,2,1 ] \end{align}

\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 +2 \cdot 2 +3 \cdot 1  = 10\end{align}


2.-

\begin{align} \vec{u} = [ 4 ,8,2 ] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [6 ,-3,2] \end{align}

\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 6+8 \cdot -3 +2\cdot 2 = 4\end{align}


3.-

\begin{align} \vec{u} = [ 6 ,-5,4 ] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ 7 ,5,4 ] \end{align}

\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} = 6\cdot 7 +-5\cdot 5 +4 \cdot 4 = 33\end{align}


4.-

\begin{align} \vec{u} = [ 10 ,9,8] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [ -1 ,-2,-3 ] \end{align}

\begin{align} \vec{u} =  \sqrt{ 10^{2}   +  9^{2}  +8^{2}} = 15.6525\end{align}

\begin{align} \vec{v} =  \sqrt{ -1^{2}   +  -2^{2}  +-3^{2}} = 3.7416 \end{align}

\begin{align} \cos \alpha = \frac{10 \cdot -1 +9 \cdot -2 +8 \cdot -3}{\sqrt{10^{2} +9^{2} +8^{2}} \cdot \sqrt{-1^{2} +-2^{2} +-3^{2}}} =-.889\end{align}

\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | 15.6525 | \cdot | 3.7416| \cdot  -.889 = -52 \end{align}


5.-

\begin{align} \vec{u} = [ 3 ,3,3 ] \end{align}
\begin{align} \vec{v} = [-2 ,-2,-2 ] \end{align}

\begin{align} \vec{u} = \sqrt{ 3^{2}   + 3^{2}  +3^{2}} = 5.1962\end{align}

\begin{align} \vec{v} =  \sqrt{ -2^{2}   + -2^{2}  +-2^{2}} = 3.4641 \end{align}

\begin{align} \cos \alpha = \frac{3\cdot -2 +3 \cdot -2+3 \cdot-2}{\sqrt{3^{2}   + 3^{2}  +3^{2}} \cdot \sqrt{ -2^{2}   + -2^{2}  +-2^{2}}} = = -.999\end{align}

\begin{align}\vec{u} \cdot \vec{v} = | 5.1962| \cdot | 3.4641 | \cdot -.999 = -18 \end{align}

Listo! ahora ya sabes como obtener el producto punto de dos vectores, no olvides seguir practicando y nos vemos… hasta la próxima!!

 

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