Inecuaciones de segundo grado

Inecuaciones de segundo grado

Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son cualquier desigualdad que directamente o mediante transformaciones, se pueden expresar de una de las formas siguientes:

ax2+bx+c>0;     ax2+bx+c< 0;       ax2+bx+c 0     ó     ax2+bx+c ≤ 0

donde ab y c son números reales y a es diferente a 0.

Resolver una inecuación es encontrar el o los valores de la variable que satisfagan la inecuación.

Para resolver una inecuación se utilizan las técnicas de las ecuaciones, con la siguiente diferencia “Cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte“.

Las inecuaciones de segundo grado son equivalentes a una ecuación de segundo grado, es decir tienen una variable elevada al exponente dos.

 Ejemplos de inecuaciones de segundo grado

Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado:

1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.

 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que satisfagan la ecuación.

Para que veas como se resuelven te pongo los siguientes ejemplos:

1.-2x2 − x < 3

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado:

2x2 − x − 3 < 0

2x2 − x − 3 = 0

Obtenemos las raíces de la ecuación factorizando:

(x + 1)(2x – 3) = 0

x = -1

x= 3/2

 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(-2) = 2(-2)2 − (2) − 3 =; 3 > 0

P(1) = 2(1)2 − (1) − 3 = ; -2 <0

P(0) =2(0)2 − (0) − 3 = ; -3<0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que satisfagan la inecuación.

solución= (-1, 3/2)


2.-  x2 > 7x – 10

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado:

x2 – 7x + 10 > 0

x2 – 7x + 10 = 0

Obtenemos las raíces de la ecuación factorizando:

(x – 2)(x – 5) = 0

x = 2

x= 5

 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(1) = (1)2 – 7(1) + 10 =4 > 0

P(3) = (3)2 – 7(3) + 10 = -2 < 0

P(6) =(6)2 – 7(6) + 10 = 4 > 0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que satisfagan la inecuación.

solución= (-∞, 2) U (5,∞)

 

NOTA: En los intervalos, el paréntesis significa > o <, es decir que el número que está en el paréntesis no se incluye dentro del intervalo, y los corchetes significan ≥ o ≤ es decir que el número en el corchete si se incluye dentro del intervalo.

 

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