Método del CRAMER

Este método consiste en la resolución de sistema de ecuaciones por medio de determinantes.

cramer

Teniendo las ecuaciones de modo

 

a11X1 + a12X2 + … + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 + … + a2nXn = b2

…                …                    …

an1X1 + an2X2 + … + annXn = bn

 

Lo pasamos a matriz y tenemos

 

[a11 a12 … a1n] [X1]       [b1]

[a21 a22 … a2n] [X2]  =   [b2]

…    …    …   …       …            …

[an1 an2 … ann] [Xn]        [bn]

 

Para encontrar los valores de las incógnitas se hace de la siguiente manera:

Se sacara el determinante de la matriz original y después se sacara el determinante de la matriz con base a la incógnita sustituyendo los resultados de las ecuaciones según la incógnita de base de la matriz, aquí graficamente:

 

A=[a11 a21 … a1n]

[a21 a22 … a2n]

[an1 an2 … ann]

 

Det A

 

AX1=[b1 a21 … a1n]

[b2 a22 … a2n]

[bn an2 … ann]

 

Det AX1

 

AX2=[a11 b1 … a1n]

[a21 b2 … a2n]

[an1 bn … ann]

 

Det AX2

 

 

AXn=[a11 a12 … b1]

[a21 a22 … b2]

[an1 an2 … bn]

 

Det AXn

 

Ya con las determinantes de cada matriz se sustituyen los valores en las siguientes fórmulas:

 

X1 = DAX1 / DA

X2 = DAX2 / DA

Xn = DAXn / DA

 

Aqui un pequeño ejemplo:

 

3x+2y = 7

-x + 4y = 7

 

Primero hacemos matriz el sistema

 

A=[3 2]

[-1 4]

 

Ahora sacamos la determinante de la matriz A

 

Det A = 3×4 + -1(-2) = 12 + 2 = 14

 

Empezamos a hacer las matrices de las incógnitas y sacamos los determinantes de éstas

 

AX=[7 2]

[7 4]

 

Det AX = 7×4 + -(7×2) =  28 – 14 = 14

 

AY=[3 7]

[-1 7]

 

Det AY = 3×7 + -(-1×7) = 21 + 7 = 28

 

Ahora sustituimos en las formulas para sacar las incógnitas:

 

X=14/14=1

Y=28/14=2

 

Otro ejemplo con una matriz mas grande para dejar en claro el CRAMER:

 

2. 2X + 2y + Z = 7

X + 2Y + Z = 0

-X + Y + 3Z = 1

 

Convertimos el sistema de ecuaciones a matriz y sacamos su determinante

 

A= [2 2 1] 2 2

[1 2 1] 1 2

[-1 1 3] -1 3

 

Det A = (12+1-2) – (-2+6+2) = 5

 

Ahora hacemos las matrices según la incógnita y sacamos sus determinantes respectivos

 

AX = [7 2 1] 7 1

[0 2 1] 0 2

[1 1 3] 1 1

 

Det AX = (42+2+0) – (2 + 0 + 7) = 35

 

AY = [2 7 1] 2 7

[1 0 1] 1 0

[-1 1 3] -1 1

 

Det AY = (0-7+1) – (0+2+21) = -18

 

AZ = [2 2 7] 2 2

[1 2 0] 1 2

[-1 1 1]  -1 2

 

Det AZ = (4+0+14) – (-14+0+2) = 30

 

Ahora calculamos nuestras incógnitas sustituyendo en las formulas y tenemos que:

 

X=35/5=7

Y=-18/5

Z=30/5 =6

 

Así es como se resuelve un sistema de ecuaciones por medio de este método que es el CRAMER.

 

Mas ejercicios a resolver con CRAMER:

 

1.

X1 + X2 + X3 = 6

2X1 + 0X2  – X3 = 4

X1 + 0X2 + 3X3 = 3

 

2.

2X + 5Y – Z = -1

4X + 2Y + 3Z = 6

-2X + 2Y + Z = 5

 

 

 

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