Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante, que se representa por 2a. Así, para cualquier punto M de la curva, se tiene MF + MF’ = 2a. En este artículo veremos como encontrar la ecuación de la elipse con centro en un punto cualquiera.
Formulario para la elipse con centro en un punto cualquiera (h, k)
Fórmula de: |
Eje mayor paralelo a “x” |
Eje mayor paralelo a “y” |
Ecuación de la elipse |
\begin{align} \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} =1 \end{align} |
\begin{align}\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} =1 \end{align} |
Focos |
F(h + c, k) F’(h – c, k) |
F(h, k + c) F’(h, k – c) |
Vértices del eje mayor |
V(h + a, k) V’(h – a, k) |
V(h, k + a) V’(h, k – a) |
Vértices del eje menor |
B(h, k + b) B’(h, k – b) |
B(h + b, k) B’(h – b, k) |
Longitud del eje mayor |
VV’=2a |
VV’=2a |
Longitud del eje menor |
BB’=2b |
BB’=2b |
Distancia focal |
FF’=2c |
FF’=2c |
Excentricidad |
e=c/a |
e=c/a |
Longitud del lado recto |
\begin{align} LR= \frac{2b^{2}}{a} \end{align} |
\begin{align} LR= \frac{2b^{2}}{a} \end{align} |
Relación pitagórica |
\begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align} |
\begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align} |
Elementos de la elipse
- Los puntos fijos F y F’ se llaman focos y la longitud FF’ distancia focal que se designa por 2c.
- El punto medio de FF’ es el centro de la elipse y se representa por C.
- Los segmentos PF y PF’ que une un punto cualquiera de la elipse con los focos se llaman radios.
- Un segmento que une dos puntos MN’ cualesquiera de la elipse se denomina cuerda.
- Una cuerda que pasa por el centro, tal como DD’, es un diámetro.
- El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor, o focal VV’, que se designa por 2a y el perpendicular a él es el eje menor o normal BB’, que se designa por 2b.
- Las intersecciones V, V’ y B, B’ de la elipse con los ejes son los vértices de las elipse.
- Las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la elipse.
- Excentricidad de una elipse es la razón de la semidistancia focal al semieje mayor (c/a) y se prepresenta por e. paara que sea elipse c < a.
Propiedades de la elipse
- El eje mayor es igual a la cantidad constante VV’ = 2a
- El eje menor es igual BB’ = 2b
- La distancia focal FF’ = 2c
- Los ejes se cortan en su punto medio C
- El cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de los cuadrados del semieje menor y de la semidistancia focal. \begin{align} a^{2} =b^{2} +c^{2} \end{align}
- La excentricidad es siempre menor que 1.