Límites de funciones trigonométricas

Antes de estudiar los límites de funciones trigonométricas repasaremos brevemente el tema de funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).

Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo:

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

Las relaciones son funciones de θ y se les llama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, sus símbolos respectivamente son: sen, cos, tan, cot, sec y csc.

Si el ángulo θ es agudo a los lados del triángulo se les llama cateto adyacentecateto opuesto e hipotenusa.

Es decir:

Sen θ = c. opuesto/hipotenusa

Cos θ = c. adyacente/hipotenusa

Tan θ = c. opuesto/c. adyacente

Cot θ = c. adyacente/c. opuesto

Sec θ = hipotenusa/c. adyacente

Csc θ = hipotenusa/c. opuesto

  • Seno y cosecante son recíprocas entre sí.
  • Coseno y secante son recíprocas entre sí.
  • Tangente y cotangente son recíprocas entre sí.

Límites de funciones trigonométricasLímites de funciones trigonométricas

 

Qué es un límite? Son los valores que toma una función dentro de un intervalo que se van aproximando a un punto fijo c. Se dice que el límite de la función f (x) es L cuando x tiende a c y se escribe:

límite

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen los siguientes límites de funciones trigonométricas:

Límites de funciones trigonométricas 2

Cuando calculamos límites de funciones trigonométricas es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

  1. Sen 2 x + Cos 2 x = 1
  2. Tan x = Sen x/Cos x
  3. Cot x = 1/tan x = Cos x/Sen x
  4. Sec x = 1/Cos x
  5. Csc x = 1/Sen x
  6. Sen (α + β) = Sen α  Cos β + Cos α  Sen β
  7. Sen (α – β) = Sen α  Cos β – Cos α  Sen β
  8. Tan (α + β) = (Tan α + Tan β)/ 1 – Tan α Tan β
  9. Tan (α – β) = (Tan α – Tan β)/ 1 + Tan α Tan β
  10. Sen 2α = 2 Sen α Cos α
  11. Cos 2α = Cos 2 α – Sen 2 α  = 2Cos 2 α – 1 = 1 – Sen 2 α
  12. Tan 2α  = 2 Tan α / 1 – Tan 2 α

 

Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que sonde gran utilidad al evaluar límites de funciones trigonométricas:
  1. Límite especial 1

Límites de funciones trigonométricas 3

Si medimos el ángulo θ en radianes y sabiendo que nuestro denominador no puede ser cero, realizamos una tabla de valores con valores próximos a cero:

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.01

0

.01

0.1

0.2

0.2

0.4

0.973

0.985

0.993

0.998

0.999

f (x)

0.999

0.998

0.993

0.985

0.973

Podemos deducir entonces que:

Límites de funciones trigonométricas 4

 

2. Segundo límite especial

Límites de funciones trigonométricas 5

Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos una indeterminación 0/0, entonces para eliminar la determinación multiplicamos por su conjugada y aplicamos las identidades:

Límites de funciones trigonométricas 6

 

EJEMPLO

Límites de funciones trigonométricas 7

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