Funciones logaritmicas y exponenciales

Las funciones logaritmicas y exponenciales están relacionadas ya que la función inversa de la función exponencial  con base “a” se llama función logarítmica base “a” y  se representa mediante loga (x) , se lee “logaritmo de x base a”.

Funciones logaritmicas y exponenciales

Definición de loga:

Sea “a” un número positivo real diferente a 1. El logaritmo de x con base “a” se define:

y = loga x       solamente si       x = ay   (para toda “x” mayor a cero y todo número real “y”).

La primera ecuación es la forma logarítmica y la segunda es la forma exponencial, el siguiente diagrama puede ayudarte a convertir cada forma en la otra:

Funciones logaritmicas y exponenciales 6

Ejemplos

log5 u =3 –> 53 = u

logb 3 =7 –> b7 = 3

log3 8 =3+2 –> 3(3+2) = 8

Funciones logarítmicas

Las siguientes son propiedades generales consecuencia de la interpretación de logx como un exponente:

Propiedad de Loga (x) Motivo Ejemplo
  • (1) loga 1 = 0
  • (2) loga a = 1
  • (3) loga ax = x
  • (4) aloga x  = x
  • a0=1
  • a1=a
  • ax= ax
  • ay=x; loga x = y
  • log3 1 = 0
  • log10 10 = 1
  • log2 8 = log2 23 = 3
  • 5log5 7 = 7

Si a > 1 entonces loga x es creciente en (0, infinito).

Ejemplo

Hacer la gráfica para la función f(x) = log3 x :

Método 1

Ya que  log3 x  y  3x son inversas entre sí, primero se hace la gráfica de 3x , se refleja la recta y = x y el reflejo de la gráfica 3x será la gráfica de   log3 x.

Funciones logaritmicas y exponenciales7

Método 2

Determinar puntos en la gráfica de y = log3 x haciendo que x = 3k  y aplicar la propiedad (3) de los logaritmos (del cuadro anterior), con esta fórmula obtenemos los siguientes puntos:

 x = 3k 3-3 3-2 3-1 30 31 32 33
y = log3 x = k  -3 -3 -1 0 1 2 3

Funciones logaritmicas y exponenciales 8

Método 3

Se puede trazar la gráfica de y = log3 x graficando la forma exponencial  x = 3y .

 

Funciones exponenciales

La función exponencial es de la forma f(x)= ax, siendo “a”  un número real positivo.

Si tenemos f(x)= 3x, en la siguiente tabla aparecen algunas coordenadas de puntos de la gráfica de y =3x

X

-10 -3 -2 -1 0 1 2 3 10
Y = 3x 1/59049 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

59049

En la figura se ve el trazado de la gráfica de f(x)= 3x.

Funciones logaritmicas y exponenciales

Si x1 y x2 son números racionales y x1<x2 entonces 3x1<3x2  y  f es una función creciente y por lo tanto su gráfica es ascendente.

Terminología Definición Gráfica de f para a > 1 Gráfica de f para 0 < a < 1
Función exponencial f con base “a” f(x) = ax donde a es mayor a 0 y diferente a 1  Funciones logaritmicas y exponenciales 1  Funciones logaritmicas y exponenciales 2

Si a > 1, entonces la función es creciente y si 0 < a < 1, la función es decreciente.

 Ejemplos

1.- Tenemos la siguiente función  F(x) = 3/2x

La siguiente tabla presenta las coordenadas de varios puntos en la gráfica

X -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 10
Y = 3/2x 10/59049 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8 57.6

La gráfica es la siguiente:

Funciones logaritmicas y exponenciales 4

La gráfica es creciente por que 3/2 es mayor a 1.

2.- Tenemos la siguiente función  F(x) = 1/2x

La siguiente tabla presenta las coordenadas de varios puntos en la gráfica

X -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 10
Y = 1/2x 1024 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/1024

La gráfica es la siguiente:

Funciones logaritmicas y exponenciales 5

La gráfica es decreciente por que 1/2 es menor a 1.

APLICACIONES

Las funciones exponenciales se presentan en muchos fenómenos, tiene tres aplicaciones:

  • El crecimiento población
  • La desintegración radioactiva
  • El interés compuesto

En todos estos casos la variable es el tiempo.

 

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