Antes de presentar las fórmulas fundamentales de integración hay que definir que es una integral.
Una integral se defina gráficamente como el área bajo la curva entre dos valores determinados de x. En algunos textos a la integración se le llama antiderivación.
Integrales algebráicas
existen dos tipos de integrales algebráicas:
1. Cuando la “x” está sola, se aplican las fórmulas fundamentales de integración de manera directa.
Ejemplos:
\begin{align}\int x^{2} {dx}\end{align}
\begin{align}\int \sqrt{x} {dx}\end{align}
\begin{align}\int 3x^{2}{dx}\end{align}
La diferencial de una función es la derivada de esta multiplicada por “dx”.
2. Cuando la “x” está acompañada, lo primero que se hace es “sacar la diferencial de lo que está dentro del paréntesis. Si la diferencial ya está completa se aplican directamente las fórmulas fundamentales de integración” en caso de que no este completa la diferencial, primero se debe completar y después aplicar las fórmulas fundamentales de integración.
Ejemplos:
\begin{align}\int ( x+1 )^{4} {dx}\end{align}
\begin{align}\int ( 3x+1 )^{3} {dx}\end{align}
\begin{align}\int \sqrt{x+1} {dx}\end{align}
Fórmulas fundamentales de integración
\begin{align} 1. \int \mathrm{u}^{n} {du} = \frac{\mathrm{u}^{n+1}}{n+1} +c; n \neq-1 \end{align}
\begin{align} 2. \int \frac{{du}}{\mathrm{u}} = \ln | u | +c \end{align}
\begin{align} 3. \int \mathrm{e}^{u} {du} = \mathrm{e}^{u} +c \end{align}
\begin{align} 4. \int a^{u} {du} = \frac{a^{u}}{\ln a} +c \end{align}
\begin{align} 5. \int {sen} u {du} =- \cos u +c \end{align}
\begin{align} 6. \int \cos u {du} = {sen} u +c \end{align}
\begin{align} 7. \int \tan u {du} = \ln | \sec u | +c \end{align}
\begin{align} 8. \int \cot u {du} = \ln | {sen} u | +c \end{align}
\begin{align} 9. \int \sec u {du} = \ln | \sec u + \tan u | +c \end{align}
\begin{align} 10. \int \csc u {du} = \ln | \csc u – {cotu} | +c \end{align}
\begin{align} 11 \int \sec^{2} u ^{} {du} = \tan u +c \end{align}
\begin{align}12. \int \csc^{2} u ^{} {du} =- \cot u +c\end{align}
\begin{align}13. \int \sec u \tan u {du} = \sec u +c \end{align}
\begin{align} 14. \int \csc u \cot u {du} = – \csc u +c\end{align}
\begin{align} 15. \int \frac{{du}}{u^{2} +a^{2}} = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a}+c \end{align}
\begin{align} 16. \int \frac{{du}}{a^{2} -u^{2}} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+u}{a-u} \right| +c \end{align}
\begin{align} 17. \int \frac{{du}}{u^{2} -a^{2}} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{u-a}{u+a} \right| +c \end{align}
\begin{align}18. \int \sqrt{a^{2} -u^{2}} {du} = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} -u^{2}}+ \frac{a^{2}}{2} {arcsen} \frac{u}{a} +c\end{align}
\begin{align} 19. \int \sqrt{a^{2} +u^{2}} {du} = \frac{u}{2} \sqrt{a^{2} +u^{2}} +\frac{a^{2}}{2} \ln \left| u+ \sqrt{a^{2} +u^{2}} \right| +c \end{align}
\begin{align} 20. \int \sqrt{u^{2} -a^{2}} {du} = \frac{u}{2} \sqrt{u^{2} -a^{2}} -\frac{a^{2}}{2} \ln \left| u+ \sqrt{u^{2} -a^{2}}\right| +c \end{align}
\begin{align} 21. \int \frac{{du}}{\sqrt{a^{2} +u^{2}}} = \ln \left| u+ \sqrt{a^{2}+u^{2}} \right| +c \end{align}
\begin{align} 22. \int \frac{{du}}{\sqrt{a^{2} -u^{2}}} = {arcsen} \frac{u}{a}+c \end{align}
\begin{align}23. \int \frac{{du}}{\sqrt{u^{2} -a^{2}}} = \ln \left| u+ \sqrt{u^{2}-a^{2}} \right| +c \end{align}
\begin{align}24. \int \frac{{du}}{u \sqrt{u^{2} -a^{2}}} = \frac{1}{a}{arcsec} \frac{u}{a} +c \end{align}
\begin{align}25. \int \frac{{du}}{u \sqrt{a^{2} -u^{2}}} =- \frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+ \sqrt{a^{2} -u^{2}}}{u} \right| +c\end{align}
\begin{align} 26. \int \frac{{du}}{u \sqrt{a^{2} +u^{2}}} =- \frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+ \sqrt{a^{2} +u^{2}}}{u} \right| +c \end{align}
